Exercice
La tour de Pise mesure \(56\,\text{m}\) de hauteur. La distance horizontale entre la base de la tour et la projection verticale de son sommet est de \(4\,\text{m}\).
Calculer la pente du monument.
Le 4ᵉ étage se situe à \(25\,\text{m}\) de hauteur. Déterminer la distance entre la base de la tour et la projection verticale de ce niveau.
Réponse :
1) La pente de la tour est 1/14.
2) La projection horizontale du 4ᵉ étage se situe à 25/14 m (environ
1,79 m) de la base.
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties en utilisant la notion de triangles semblables. La tour de Pise, inclinée, forme avec le sol un triangle rectangle dont la hauteur verticale est donnée par la hauteur de la tour et la base par la projection horizontale du sommet sur le sol.
On nous indique que la hauteur de la tour est
de
\[
56\,\text{m}
\] et que la distance horizontale entre la base
de la tour et la projection du sommet est de
\[
4\,\text{m}.
\]
La pente (souvent définie comme le rapport entre la distance horizontale et la hauteur) se calcule donc par :
\[ \text{Pente} = \frac{\text{Distance horizontale}}{\text{Hauteur}} = \frac{4}{56}. \]
On peut simplifier ce rapport en divisant numérateur et dénominateur par 4 :
\[ \frac{4}{56} = \frac{4 \div 4}{56 \div 4} = \frac{1}{14}. \]
Ainsi, la pente du monument est \(\frac{1}{14}\) (ou environ 0,0714).
Le 4ᵉ étage se situe à une hauteur de
\[
25\,\text{m}.
\]
Utilisation des triangles semblables :
La situation de la tour entière et celle d’un étage partiel forment des triangles rectangles semblables. La relation de proportionnalité entre les côtés correspondants est :
\[ \frac{\text{Distance horizontale à 25 m}}{25} = \frac{4}{56}. \]
On cherche la distance horizontale (que nous noterons \(x\)) au niveau de 25 m :
\[ \frac{x}{25} = \frac{4}{56}. \]
Pour isoler \(x\), on multiplie les deux membres de l’égalité par 25 :
\[ x = 25 \times \frac{4}{56}. \]
Avant de calculer, on peut simplifier la fraction \(\frac{4}{56}\) :
\[ \frac{4}{56} = \frac{1}{14}. \]
Ainsi,
\[ x = 25 \times \frac{1}{14} = \frac{25}{14}\,\text{m}. \]
En valeur approchée, on peut calculer :
\[ \frac{25}{14} \approx 1,7857\,\text{m}. \]
La pente du monument est \(\displaystyle \frac{1}{14}\).
La distance entre la base de la tour et la projection verticale du 4ᵉ étage est \(\displaystyle \frac{25}{14}\,\text{m}\) (environ \(1,79\,\text{m}\)).