Exercice
Étudiez si la taille d’un homme varie de manière proportionnelle avec son âge. La même question peut être posée pour la taille d’une femme.
Non, la taille d’un homme (et d’une femme) n’est pas proportionnelle à l’âge puisque la relation n’est pas linéaire : un bébé naît avec une taille non nulle et le taux de croissance varie au cours de la vie.
Voici une solution détaillée pour étudier si la taille d’un homme varie de manière proportionnelle avec son âge, et la même réflexion s’applique pour la taille d’une femme.
Pour dire qu’une grandeur \(y\) varie de manière proportionnelle avec une autre grandeur \(x\), il faut qu’il existe une constante \(k\) telle que : \[ y = k \times x. \] Dans ce cas, la relation est linéaire et passe par l’origine, c’est-à-dire que lorsque \(x = 0\), alors \(y = 0\).
Cas de la taille et de l’âge :
Vérification de l’origine :
Si l’on devait appliquer la relation de proportionnalité, on aurait
notamment : \[
\text{taille} = k \times \text{âge}.
\] Cela impliquerait que pour un âge de \(0\) an, la taille serait \(0\) cm. Cependant, un bébé naît avec une
taille non nulle (généralement autour de \(50\) cm). Cela montre déjà une
contradiction avec le modèle d’une proportionnalité stricte.
Évolution de la croissance :
La croissance d’un enfant n’est pas régulière au fil des années. Par
exemple, le rythme de croissance est rapide pendant les premières années
de vie, ralentit ensuite, puis connaît une accélération durant la
période de croissance lors de la puberté avant de se stabiliser à l’âge
adulte.
Si la croissance était proportionnelle à l’âge, le coefficient \(k\) (qui représente le taux de croissance
annuel) serait constant. Or, en réalité, ce taux varie fortement selon
les périodes de la vie.
Graphique théorique :
Si l’on représentait sur un graphique la taille en fonction de l’âge, la
courbe ne serait pas une droite passant par l’origine mais une courbe
dont la pente change selon l’âge. Par exemple, la courbe pourrait
présenter une pente faible au début, une pente accrue durant la puberté,
puis une pente nulle ou presque nulle une fois l’âge adulte
atteint.
Pour les hommes :
La taille ne varie pas de manière strictement proportionnelle avec
l’âge. La relation n’est pas du type \(\text{taille} = k \times \text{âge}\) avec
un unique et constant \(k\).
Pour les femmes :
La même analyse s’applique. La courbe de croissance est similaire et ne
suit pas un modèle linéaire passant par l’origine.
En résumé, la taille d’un homme (et d’une femme) ne varie pas de manière proportionnelle avec son âge. La relation entre l’âge et la taille n’est pas linéaire et ne peut pas être exprimée sous la forme \(y = kx\) avec un seul coefficient constant pour l’ensemble de la vie.