Exercice :
Soit que 8 musiciens jouent une partition en \(1 \, \text{heure} \, 30 \, \text{minutes}\). Combien de temps mettront 16 musiciens pour exécuter le même morceau ?
Réponse : 16 musiciens joueront le morceau en 45 minutes.
Voici la correction détaillée :
Étape 1 : Identifier le principe de proportionnalité
On part de l’idée que le temps de travail total est réparti entre les musiciens. Si on augmente le nombre de musiciens, chaque musicien participe au travail, et le temps total nécessaire diminue. Ici, on considère que le produit “nombre de musiciens × temps de jeu” reste constant pour exécuter le même morceau.
On définit donc la constante de proportionnalité :
\[ \text{Nombre de musiciens} \times \text{Temps de jeu} = \text{Constante} \]
Étape 2 : Calcul de la constante avec 8 musiciens
On sait que 8 musiciens jouent le morceau en 1 heure 30 minutes. D’abord, transformons ce temps en minutes :
\[ 1 \, \text{heure} \, 30 \, \text{minutes} = 60 + 30 = 90 \, \text{minutes} \]
La constante se calcule ainsi :
\[ 8 \times 90 = 720 \, \text{minutes-musicien} \]
Étape 3 : Déterminer le temps pour 16 musiciens
On note \(T\) le temps, en minutes, nécessaire à 16 musiciens pour jouer le morceau. Selon le principe de proportionnalité :
\[ 16 \times T = 720 \]
Pour trouver \(T\), on divise les deux côtés de l’équation par 16 :
\[ T = \frac{720}{16} \]
Calculons :
\[ T = 45 \, \text{minutes} \]
Étape 4 : Conclusion
Ainsi, 16 musiciens mettront \(\boxed{45 \, \text{minutes}}\) pour exécuter le même morceau.
Cette méthode est basée sur la relation d’inversement proportionnelle entre le nombre de musiciens et le temps de jeu lorsque le travail total reste constant.