Exercice 50

Soit trois tableaux :

1. \[ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{Prix (fr.)} & 11 & 4 & 7 & 5 & 25 & 100 \\ \hline \text{Longueur (m)} & 5,5 & 2 & 3,5 & 2,5 & 12,5 & 50 \\ \hline \end{array} \]

2. \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Dénivellation (m)} & 8 & 5 & 14 & 19 & 22 \\ \hline \text{Distance horizontale (m)} & 48 & 30 & 84 & 114 & 132 \\ \hline \end{array} \]

3. \[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Distance (km)} & 12 & 2,5 & 24 & 0,5 & 4 \\ \hline \text{Prix (fr.)} & 40 & 11,5 & 76 & 5,5 & 16 \\ \hline \end{array} \]

Pour chacun de ces tableaux, déterminer si les grandeurs sont proportionnelles. Dans l’affirmative, pour chaque couple de grandeurs, trouver le facteur de proportionnalité permettant de calculer l’une à partir de l’autre.

Réponse

Réponse courte : – Premier tableau : proportionnalité avec un facteur de 2 francs par mètre. – Deuxième tableau : proportionnalité avec un facteur de 1/6. – Troisième tableau : pas de proportionnalité.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des trois tableaux.

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1. Premier tableau

On vous donne les deux grandeurs suivantes :

• Prix (en francs)
• Longueur (en mètres)

Le tableau est :

\[ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{Prix (fr.)} & 11 & 4 & 7 & 5 & 25 & 100 \\ \hline \text{Longueur (m)} & 5{,}5 & 2 & 3{,}5 & 2{,}5 & 12{,}5 & 50 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Calculer le rapport pour chaque couple

Pour vérifier la proportionnalité, nous calculons le quotient \(\frac{\text{Prix}}{\text{Longueur}}\) pour chaque couple.

• Pour le premier couple :
  \[ \frac{11}{5{,}5} = 2 \]
• Pour le deuxième couple :
  \[ \frac{4}{2} = 2 \]
• Pour le troisième couple :
  \[ \frac{7}{3{,}5} = 2 \]
• Pour le quatrième couple :
  \[ \frac{5}{2{,}5} = 2 \]
• Pour le cinquième couple :
  \[ \frac{25}{12{,}5} = 2 \]
• Pour le sixième couple :
  \[ \frac{100}{50} = 2 \]

Étape 2 : Conclusion

Tous les couples donnent le même quotient, égal à 2. Cela signifie que le prix est proportionnel à la longueur et que le facteur de proportionnalité est 2 (c’est-à-dire 2 francs par mètre).

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2. Deuxième tableau

On vous donne :

• Dénivellation (en mètres)
• Distance horizontale (en mètres)

Le tableau est :

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Dénivellation (m)} & 8 & 5 & 14 & 19 & 22 \\ \hline \text{Distance horizontale (m)} & 48 & 30 & 84 & 114 & 132 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Calculer le rapport

Nous calculons le quotient \(\frac{\text{Dénivellation}}{\text{Distance horizontale}}\) :

• Pour le premier couple :
  \[ \frac{8}{48} = \frac{1}{6} \quad (\approx 0{,}1667) \]
• Pour le deuxième couple :
  \[ \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]
• Pour le troisième couple :
  \[ \frac{14}{84} = \frac{1}{6} \]
• Pour le quatrième couple :
  \[ \frac{19}{114} = \frac{1}{6} \quad \text{(puisque } 114 \times \frac{1}{6} = 19\text{)} \]
• Pour le cinquième couple :
  \[ \frac{22}{132} = \frac{1}{6} \]

Étape 2 : Conclusion

Tous les rapports sont égaux à \(\frac{1}{6}\). Ainsi, la dénivellation est proportionnelle à la distance horizontale avec un facteur de proportionnalité de \(\frac{1}{6}\) (pour chaque mètre horizontal, on a \(\frac{1}{6}\) m de dénivelation).

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3. Troisième tableau

On vous donne :

• Distance (en kilomètres)
• Prix (en francs)

Le tableau est :

\[ \begin{array}{|c|ccccc|} \hline \text{Distance (km)} & 12 & 2{,}5 & 24 & 0{,}5 & 4 \\ \hline \text{Prix (fr.)} & 40 & 11{,}5 & 76 & 5{,}5 & 16 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Calculer le rapport

Nous calculons \(\frac{\text{Prix}}{\text{Distance}}\) pour chaque couple :

• Pour le premier couple :
  \[ \frac{40}{12} \approx 3{,}33 \]
• Pour le deuxième couple :
  \[ \frac{11{,}5}{2{,}5} = 4{,}6 \]
• Pour le troisième couple :
  \[ \frac{76}{24} \approx 3{,}17 \]
• Pour le quatrième couple :
  \[ \frac{5{,}5}{0{,}5} = 11 \]
• Pour le cinquième couple :
  \[ \frac{16}{4} = 4 \]

Étape 2 : Conclusion

Les quotients obtenus ne sont pas tous égaux. Ainsi, dans ce cas, les grandeurs ne sont pas proportionnelles.

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Résumé final

• Premier tableau : Les prix et les longueurs sont proportionnels. Le facteur de proportionnalité est 2 (2 francs par mètre).
• Deuxième tableau : La dénivellation et la distance horizontale sont proportionnelles. Le facteur de proportionnalité est \(\frac{1}{6}\).
• Troisième tableau : La distance et le prix ne sont pas proportionnels.

Cette démarche montre comment, en calculant le rapport entre les deux grandeurs pour chaque couple de valeurs, on peut déterminer si elles sont proportionnelles et, dans l’affirmative, trouver le facteur de proportionnalité.