Exercice 49

Exercice :
Pour chacun des tableaux suivants, déterminer si les données représentent des grandeurs proportionnelles. Dans l’affirmative, trouver le facteur de proportionnalité permettant de passer de l’une à l’autre.

Tableau 1 :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Quantité (kg)} & 3 & 5 & 8 & 20 & 13 \\ \hline \text{Prix (fr.)} & 7,5 & 12,5 & 20 & 50 & 32,5 \\ \hline \end{array} \]

Tableau 2 :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Côté (m)} & 2 & 7 & 25 & 0,5 & 50 \\ \hline \text{Aire \((m^2)\)} & 4 & 49 & 625 & 0,25 & 2500 \\ \hline \end{array} \]

Tableau 3 :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Distance (m)} & 4 & 8 & 15 & 22 & 36 \\ \hline \text{Temps (s)} & 24 & 48 & 90 & 132 & 216 \\ \hline \end{array} \]

Réponse

Tableau 1 : Les données sont proportionnelles (k = 2,5).
Tableau 2 : Les données ne sont pas proportionnelles (l’aire d’un carré est le côté²).
Tableau 3 : Les données sont proportionnelles (k = 6).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

Tableau 1

On nous présente le tableau suivant :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Quantité (kg)} & 3 & 5 & 8 & 20 & 13 \\ \hline \text{Prix (fr.)} & 7{,}5 & 12{,}5 & 20 & 50 & 32{,}5 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Vérifier si la proportionnalité existe

Pour déterminer si les données sont proportionnelles, il faut vérifier que pour chaque ligne, le rapport entre le prix et la quantité est constant. On calcule ce rapport pour chaque paire (quantité, prix) :

Pour 3 kg :
\[ k = \frac{7{,}5}{3} = 2{,}5 \]
Pour 5 kg :
\[ k = \frac{12{,}5}{5} = 2{,}5 \]
Pour 8 kg :
\[ k = \frac{20}{8} = 2{,}5 \]
Pour 20 kg :
\[ k = \frac{50}{20} = 2{,}5 \]
Pour 13 kg :
\[ k = \frac{32{,}5}{13} = 2{,}5 \]

Étape 2 : Conclusion pour le tableau 1

Puisque dans chaque cas le rapport est constant et vaut \(k = 2{,}5\), cela signifie que le prix est proportionnel à la quantité et que le facteur de proportionnalité est de \(2{,}5\).

Tableau 2

Le tableau 2 est le suivant :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Côté (m)} & 2 & 7 & 25 & 0{,}5 & 50 \\ \hline \text{Aire (m²)} & 4 & 49 & 625 & 0{,}25 & 2500 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Vérifier la relation entre le côté et l’aire

Pour un carré, l’aire est calculée par : \[ \text{Aire} = (\text{Côté})^2. \] Nous vérifions pour chaque paire :

Pour un côté de \(2\) m :
\[ 2^2 = 4 \quad \text{(correspond bien à l'aire donnée)} \]
Pour un côté de \(7\) m :
\[ 7^2 = 49 \quad \text{(correspond bien)} \]
Pour un côté de \(25\) m :
\[ 25^2 = 625 \quad \text{(correspond bien)} \]
Pour un côté de \(0{,}5\) m :
\[ 0{,}5^2 = 0{,}25 \quad \text{(correspond bien)} \]
Pour un côté de \(50\) m :
\[ 50^2 = 2500 \quad \text{(correspond bien)} \]

Étape 2 : Analyse de la proportionnalité

Même si la formule utilisée est \((\text{Côté})^2\), il faut remarquer que la relation pour la proportionnalité doit être de la forme : \[ \text{Aire} = k \times \text{Côté}. \] Ici, l’aire ne s’obtient pas en multipliant le côté par un nombre constant, mais en l’élevant au carré.
Par exemple, pour \(2\) m : \[ k = \frac{4}{2} = 2, \] mais pour \(7\) m : \[ k = \frac{49}{7} = 7. \]

Les valeurs de \(k\) ne sont pas constantes (elles changent selon la valeur du côté).

Étape 3 : Conclusion pour le tableau 2

Les données ne représentent pas des grandeurs proportionnelles puisqu’il n’existe pas de facteur multiplicatif constant permettant de passer du côté à l’aire.

Tableau 3

Le tableau 3 est présenté comme suit :

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Distance (m)} & 4 & 8 & 15 & 22 & 36 \\ \hline \text{Temps (s)} & 24 & 48 & 90 & 132 & 216 \\ \hline \end{array} \]

Étape 1 : Vérifier si la relation est proportionnelle

On calcule le rapport entre le temps et la distance pour chacun des cas :

Pour 4 m :
\[ k = \frac{24}{4} = 6 \quad (\text{sec par mètre}) \]
Pour 8 m :
\[ k = \frac{48}{8} = 6 \]
Pour 15 m :
\[ k = \frac{90}{15} = 6 \]
Pour 22 m :
\[ k = \frac{132}{22} = 6 \]
Pour 36 m :
\[ k = \frac{216}{36} = 6 \]

Étape 2 : Conclusion pour le tableau 3

Dans chaque cas, le rapport est constant et vaut \(k = 6\) secondes par mètre. Ceci signifie que le temps est proportionnel à la distance parcourue avec un facteur de proportionnalité de 6.

Récapitulatif

Tableau 1 :
Relation proportionnelle avec un facteur de proportionnalité \(k = 2{,}5\).
Tableau 2 :
Relation non proportionnelle, car l’aire d’un carré est calculée par le carré du côté (\((\text{Côté})^2\)) et non par une multiplication par un facteur constant.
Tableau 3 :
Relation proportionnelle avec un facteur de proportionnalité \(k = 6\).

Cette démarche permet de bien vérifier la constance du rapport entre les grandeurs pour déterminer la proportionnalité.