Exercice
Pour chacun des tableaux ci-dessous, déterminez :
Tableau 1 : \[ \begin{array}{c|ccccc} \text{Quantité (kg)} & 5 & 10 & 2 & 12 & 25 \\ \hline \text{Prix (fr.)} & 22,5 & 45 & 9 & 54 & 112,5 \\ \end{array} \]
Tableau 2 : \[ \begin{array}{c|ccccc} \text{Temps (s)} & 60 & 15 & 300 & 400 & 100 \\ \hline \text{Distance (m)} & 240 & 60 & 1200 & 1600 & 400 \\ \end{array} \]
Tableau 3 : \[ \begin{array}{c|cccccc} x & 12 & 5 & 8 & 30 & 13 & 45 \\ \hline y & 90 & 37,5 & 60 & 225 & 97,5 & 337,5 \\ \end{array} \]
Tableau 4 : \[ \begin{array}{c|cccccc} x & 21 & 65 & 4 & 9 & 14 & 7,5 \\ \hline y & 84 & 260 & 16 & 36 & 56 & 30 \\ \end{array} \]
Tableau 1 : k = 4,5 et son inverse 1/k = 2/9
Tableau 2 : k = 4 et 1/k = 0,25
Tableau 3 : k = 7,5 et 1/k = 2/15
Tableau 4 : k = 4 et 1/k = 0,25
Voici la correction détaillée pour chacun des tableaux.
On nous demande de déterminer le coefficient multiplicateur qui permet d’obtenir le prix à partir de la quantité et ensuite le coefficient inverse qui permet de retrouver la quantité à partir du prix.
Pour passer de la première ligne (quantité) à la deuxième ligne (prix), nous cherchons un nombre \(k\) tel que :
\[ \text{Prix} = k \times \text{Quantité}. \]
Prenons par exemple le premier couple :
On a alors :
\[ k = \frac{22,5}{5} = 4,5. \]
Vérifions avec un autre couple :
Ici :
\[ k = \frac{45}{10} = 4,5. \]
Les autres couples ( \(2 \to 9\), \(12 \to 54\), \(25 \to 112,5\) ) donnent également :
\[ \frac{9}{2} = 4,5,\quad \frac{54}{12} = 4,5,\quad \frac{112,5}{25} = 4,5. \]
On en déduit que le coefficient multiplicateur est \(4,5\).
Pour retrouver la première ligne (quantité) à partir de la deuxième (prix), il faut diviser par \(4,5\) ou multiplier par l’inverse de \(4,5\).
\[ \text{Inverse} = \frac{1}{4,5}. \]
Comme \(4,5 = \frac{9}{2}\), l’inverse est :
\[ \frac{1}{4,5} = \frac{2}{9}. \]
Ici, on passe du temps (en secondes) à la distance (en mètres).
On cherche un nombre \(k\) tel que :
\[ \text{Distance} = k \times \text{Temps}. \]
Prenons le premier couple :
On a :
\[ k = \frac{240}{60} = 4. \]
Vérifions un autre couple :
On obtient :
\[ k = \frac{60}{15} = 4. \]
Les autres couples donnent aussi \(k=4\), car :
\[ \frac{1200}{300} = 4,\quad \frac{1600}{400} = 4,\quad \frac{400}{100} = 4. \]
Donc, le coefficient multiplicateur est \(4\).
Pour retrouver le temps à partir de la distance, on applique :
\[ \text{Coefficient inverse} = \frac{1}{4} = 0,25. \]
Les colonnes sont nommées \(x\) et \(y\). On cherche à exprimer \(y\) en fonction de \(x\) par la relation :
\[ y = k \times x. \]
Prenons le premier couple :
Calcul :
\[ k = \frac{90}{12} = 7,5. \]
Vérifions avec un autre couple :
\[ k = \frac{37,5}{5} = 7,5. \]
Les autres paires \((8 \to 60,\; 30 \to 225,\; 13 \to 97,5,\; 45 \to 337,5)\) confirment que :
\[ k = 7,5 \quad \text{pour tous les cas}. \]
Ainsi, le coefficient multiplicateur est \(7,5\).
Pour retrouver \(x\) à partir de \(y\), on a :
\[ \text{Coefficient inverse} = \frac{1}{7,5}. \]
Pour simplifier, on peut écrire :
\[ 1 \div 7,5 = \frac{1}{7,5} = \frac{2}{15}. \]
Ce tableau a pour colonnes \(x\) et \(y\).
Nous cherchons \(k\) tel que :
\[ y = k \times x. \]
Prenons le premier couple :
Calcul :
\[ k = \frac{84}{21} = 4. \]
Testons avec un autre couple :
\[ k = \frac{260}{65} = 4. \]
De même, pour les autres couples :
Donc, le coefficient multiplicateur est \(4\).
Pour retrouver \(x\) à partir de \(y\), le coefficient inverse est :
\[ \frac{1}{4} = 0,25. \]
Pour récapituler :
Cette démarche consiste à diviser chaque valeur de la deuxième ligne par celle correspondante de la première ligne pour trouver le coefficient multiplicateur, puis à utiliser son inverse pour retrouver la valeur d’origine à partir de la deuxième ligne.