Exercice :
Une tondeuse à gazon utilise un mélange d’essence et d’huile. Dans un bidon de 20 litres, on trouve 19 litres d’essence et 1 litre d’huile.
Formulez :
Pour x litres de mélange, il y a x/20 litres d’huile, 19x/20 litres d’essence et le prix total est de (11x)/10 francs.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé récapitulatif :
On dispose d’un mélange de 20 litres composé de 19 litres d’essence
et 1 litre d’huile.
Les questions portent sur :
1. Le nombre de litres d’huile dans \(x\) litres de mélange.
2. Le nombre de litres d’essence dans \(x\) litres de mélange.
3. Le prix de \(x\) litres de mélange
sachant que l’essence coûte 1 franc le litre et l’huile 3 francs le
litre.
Dans le bidon initial, on a 1 litre d’huile pour 20 litres de
mélange.
La fraction d’huile est donc : \[
\frac{1}{20}
\]
Pour obtenir le nombre de litres d’huile dans \(x\) litres, on multiplie cette fraction par \(x\) : \[ \text{Huile} = \frac{1}{20} \times x = \frac{x}{20} \]
On dispose de 19 litres d’essence sur un total de 20 litres de
mélange.
La fraction d’essence est donc : \[
\frac{19}{20}
\]
Pour \(x\) litres de mélange, le nombre de litres d’essence est : \[ \text{Essence} = \frac{19}{20} \times x = \frac{19x}{20} \]
Étape 1 : Calculer le coût des composants dans le mélange
Le coût de l’essence est de 1 franc par litre.
Pour \(x\) litres, la quantité
d’essence est \(\frac{19x}{20}\)
litres, donc le coût associé est : \[
\text{Coût de l'essence} = 1 \times \frac{19x}{20} = \frac{19x}{20}
\text{ francs}
\]
Le coût de l’huile est de 3 francs par litre.
Pour \(x\) litres, la quantité d’huile
est \(\frac{x}{20}\) litres, donc le
coût associé est : \[
\text{Coût de l'huile} = 3 \times \frac{x}{20} = \frac{3x}{20}
\text{ francs}
\]
Étape 2 : Additionner ces coûts pour obtenir le prix total
Le prix total du mélange est la somme des deux coûts : \[ \text{Prix total} = \frac{19x}{20} + \frac{3x}{20} \]
Additionnons les deux fractions : \[ \frac{19x}{20} + \frac{3x}{20} = \frac{(19+3)x}{20} = \frac{22x}{20} \]
On peut simplifier cette fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 : \[ \frac{22x}{20} = \frac{11x}{10} \]
Ainsi, le prix de \(x\) litres de mélange est : \[ \frac{11x}{10} \text{ francs} \]
Litres d’huile dans \(x\) litres de mélange : \[ \frac{x}{20} \]
Litres d’essence dans \(x\) litres de mélange : \[ \frac{19x}{20} \]
Prix de \(x\) litres de mélange : \[ \frac{11x}{10} \text{ francs} \]
Cette méthode permet de trouver les quantités et le coût en utilisant des proportions simples à partir des données initiales. Chaque partie du mélange est traitée séparément, puis on combine le résultat pour trouver le prix total.