Exercice 39

Exercice

Dans une bibliothèque, tous les romans de science-fiction appartiennent aussi à la catégorie des romans d’aventure.

On sait que \(\frac{3}{8}\) des livres sont classés comme romans d’aventure. Parmi ces livres, \(40\%\) sont aussi des romans de science-fiction.

1. Quelle fraction des livres est à la fois un roman de science-fiction et un roman d’aventure ?

2. Quel est le pourcentage des livres qui est uniquement un roman d’aventure ?

3. Si la bibliothèque contient 800 livres, combien de romans de science-fiction y a-t-il ?

Réponse

1. 3/20
   
2. 22,5%
   
3. 120 romans de science-fiction

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice étape par étape.

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Énoncé

Dans une bibliothèque, tous les romans de science-fiction appartiennent aussi à la catégorie des romans d’aventure.
On sait que \(\frac{3}{8}\) des livres sont classés comme romans d’aventure. Parmi ces livres, \(40\%\) sont aussi des romans de science-fiction.

Nous devons déterminer :

1. La fraction des livres qui est à la fois un roman de science-fiction et un roman d’aventure.
   
2. Le pourcentage des livres qui est uniquement un roman d’aventure.
   
3. Le nombre de romans de science-fiction dans une bibliothèque de 800 livres.

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Partie a)

Calcul de la fraction des livres étant à la fois des romans de science-fiction et d’aventure

1. Fraction des livres d’aventure
   On nous indique que \(\frac{3}{8}\) des livres sont des romans d’aventure.

2. Pourcentage des romans d’aventure qui sont aussi de science-fiction
   \(40\%\) des romans d’aventure sont aussi des romans de science-fiction. En fraction, \(40\%\) s’écrit \(\frac{40}{100} = \frac{2}{5}\).

3. Calcul de la fraction totale
   Pour trouver la fraction des livres qui sont les deux (science-fiction et aventure), on multiplie la fraction d’aventure par la fraction de ceux qui sont aussi de science-fiction : \[ \text{Fraction SF et aventure} = \frac{3}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{8 \times 5} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}. \]

Réponse a) La fraction est \(\frac{3}{20}\).

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Partie b)

Calcul du pourcentage des livres qui est uniquement un roman d’aventure

Les livres uniquement d’aventure sont ceux qui ne sont pas de science-fiction. Pour les calculer :

1. Fraction totale d’aventure
   \[ \frac{3}{8} \]

2. Fraction d’aventure qui sont aussi de science-fiction
   Comme trouvé précédemment, c’est \(\frac{3}{20}\).

3. Fraction d’aventure uniquement
   On soustrait la fraction des romans qui sont à la fois science-fiction et aventure de la fraction d’aventure. Pour cela, mettons les deux fractions au même dénominateur.
   La fraction \(\frac{3}{8}\) s’écrit avec le dénominateur 40 : \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}. \] Et la fraction \(\frac{3}{20}\) s’écrit également avec le dénominateur 40 : \[ \frac{3}{20} = \frac{3 \times 2}{20 \times 2} = \frac{6}{40}. \] On a donc : \[ \text{Fraction uniquement aventure} = \frac{15}{40} - \frac{6}{40} = \frac{9}{40}. \]

4. Conversion en pourcentage
   \(\frac{9}{40}\) se convertit en pourcentage par le calcul suivant : \[ \frac{9}{40} \times 100\% = 22,5\%. \]

Réponse b) Le pourcentage des livres qui est uniquement un roman d’aventure est \(22,5\%\).

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Partie c)

Calcul du nombre de romans de science-fiction dans une bibliothèque de 800 livres

Les romans de science-fiction sont tous des romans d’aventure, et nous avons déjà trouvé que la fraction des livres qui sont de science-fiction est \(\frac{3}{20}\).

1. Calcul du nombre
   Multiplions la fraction par le nombre total de livres : \[ \text{Nombre de romans SF} = \frac{3}{20} \times 800. \] Pour simplifier, nous pouvons calculer : \[ 800 \div 20 = 40 \quad \text{puis} \quad 3 \times 40 = 120. \]

Réponse c) Il y a 120 romans de science-fiction dans la bibliothèque.

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Récapitulatif des réponses

• a) La fraction des livres à la fois un roman de science-fiction et un roman d’aventure est \(\frac{3}{20}\).
• b) \(22,5\%\) des livres sont uniquement des romans d’aventure.
• c) Dans la bibliothèque de 800 livres, il y a 120 romans de science-fiction.

Cette démarche détaillée vous permet de comprendre comment trouver chaque résultat étape par étape.