Exercice 33

1. La voiture de Sophie avait un réservoir vide. Après avoir ajouté \(40\) litres d’essence, le réservoir est rempli aux \(\frac{2}{3}\) de sa capacité totale. Quelle est la capacité du réservoir de sa voiture ?

2. Le réservoir de la voiture de Lucas a une capacité de \(75\) litres. Il a déjà consommé les \(\frac{4}{5}\) de cette capacité. Combien de litres d’essence cela représente-t-il ?

Réponse

1. La capacité totale du réservoir est de 60 litres.
   
2. Lucas a consommé 60 litres d’essence.

Corrigé détaillé

Voici le détail de la correction :

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a) Détermination de la capacité totale du réservoir

Énoncé :
La voiture de Sophie avait un réservoir vide. Après avoir ajouté \(40\) litres d’essence, le réservoir est rempli aux \(\frac{2}{3}\) de sa capacité totale. On souhaite connaître la capacité totale du réservoir.

Étapes de la résolution :

1. Comprendre la situation :
   Le fait qu’après avoir ajouté \(40\) litres, le réservoir est rempli aux \(\frac{2}{3}\) signifie que \(40\) litres représentent les \(\frac{2}{3}\) de la capacité totale \(C\).

2. Traduire en équation :
   On écrit la relation suivante : \[ \frac{2}{3} \times C = 40 \]

3. Isoler la capacité totale \(C\) :
   Pour trouver \(C\), il faut diviser les deux membres de l’équation par \(\frac{2}{3}\) (ce qui équivaut à multiplier par \(\frac{3}{2}\)).
   \[ C = 40 \times \frac{3}{2} \]

4. Effectuer le calcul :
   \[ C = 40 \times \frac{3}{2} = 40 \times 1,5 = 60 \]

Conclusion pour a) :
La capacité totale du réservoir de la voiture de Sophie est de \(60\) litres.

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b) Calcul de la quantité d’essence consommée

Énoncé :
Le réservoir de la voiture de Lucas a une capacité de \(75\) litres. Il a déjà consommé les \(\frac{4}{5}\) de cette capacité. Il faut déterminer combien de litres cela représente.

Étapes de la résolution :

1. Analyser l’information donnée :
   Lucas a consommé une portion équivalente à \(\frac{4}{5}\) de \(75\) litres.

2. Écrire l’opération à effectuer :
   La quantité d’essence consommée est : \[ \frac{4}{5} \times 75 \]

3. Calculer la fraction :
   Pour multiplier, on peut effectuer la multiplication directement ou simplifier.
   \[ \frac{4}{5} \times 75 = 4 \times \left(\frac{75}{5}\right) \] Puisque \(\frac{75}{5} = 15\), on a : \[ 4 \times 15 = 60 \]

Conclusion pour b) :
Lucas a consommé \(60\) litres d’essence.

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Récapitulatif

• Partie a) : La capacité totale du réservoir de Sophie est \(60\) litres.
• Partie b) : Lucas a consommé \(60\) litres d’essence.

Cette démarche montre comment utiliser la proportionnalité et le calcul des fractions pour résoudre des problèmes concrets.