Question : Exercice : Remplissage de tableaux de proportionnalité
Complète les tableaux suivants en déterminant la relation de proportionnalité. Explique la méthode utilisée pour chaque tableau.
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \quad ? \quad & 315 \\ \hline y & 63 & 21 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 4800 & 40 \\ \hline y & \quad ? \quad & 8 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \quad ? \quad & 3,6 \\ \hline y & 18,0 & 5 \\ \hline \end{array} \]
Tableau 1 : la valeur manquante est 945
Tableau 2 : la valeur manquante est 960
Tableau 3 : la valeur manquante est 12,96
Voici une correction détaillée pour chacun des tableaux en expliquant pas à pas la démarche utilisée pour déterminer la relation de proportionnalité et remplir les cases manquantes.
Le tableau est le suivant :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline ? & 63 \\ \hline 315 & 21 \\ \hline \end{array} \]
Étape 1 : Déterminer la constante de proportionnalité
Dans une relation de proportionnalité, il existe un coefficient \(k\) tel que
\[
x = k \times y.
\]
Nous disposons de la paire \((315, 21)\). Pour trouver \(k\), on calcule :
\[ k = \frac{x}{y} = \frac{315}{21}. \]
En effectuant la division :
\[ \frac{315}{21} = 15. \]
Donc, la constante de proportionnalité est \(k = 15\).
Étape 2 : Compléter la case manquante
Pour la première paire, on connaît \(y = 63\) et \(x = ?\). Utilisons la formule :
\[ x = k \times y = 15 \times 63. \]
Calculons :
\[ 15 \times 63 = 945. \]
Ainsi, on complète le tableau :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 945 & 63 \\ \hline 315 & 21 \\ \hline \end{array} \]
Le tableau est le suivant :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 4800 & ? \\ \hline 40 & 8 \\ \hline \end{array} \]
Étape 1 : Déterminer la constante de proportionnalité
Ici, la relation est également \(y = k \times x\). On utilise la paire \((40, 8)\) pour calculer \(k\) :
\[ k = \frac{y}{x} = \frac{8}{40} = 0,2. \]
Étape 2 : Compléter la case manquante
Pour la première paire, on connaît \(x = 4800\), alors :
\[ y = k \times x = 0,2 \times 4800. \]
Effectuons le calcul :
\[ 0,2 \times 4800 = 960. \]
On obtient donc le tableau complété :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 4800 & 960 \\ \hline 40 & 8 \\ \hline \end{array} \]
Le tableau est le suivant :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline ? & 18{,}0 \\ \hline 3{,}6 & 5 \\ \hline \end{array} \]
Étape 1 : Déterminer la constante de proportionnalité
La relation de proportionnalité s’écrit encore \(y = k \times x\). Pour la paire \((3{,}6, 5)\), on calcule \(k\) :
\[ k = \frac{y}{x} = \frac{5}{3{,}6}. \]
Pour simplifier le calcul, on peut écrire :
\[ \frac{5}{3{,}6} = \frac{5}{3,6} \approx 1{,}3889. \]
On peut également le laisser sous forme de fraction en multipliant numérateur et dénominateur par 10 :
\[ \frac{5}{3{,}6} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18}. \]
Donc, \(k = \frac{25}{18}\).
Étape 2 : Compléter la case manquante
Pour la première paire, on connaît \(y = 18{,}0\) et on cherche \(x\). La formule étant :
\[ x = \frac{y}{k}. \]
En remplaçant \(k\) par \(\frac{25}{18}\) :
\[ x = \frac{18{,}0}{\frac{25}{18}} = 18{,}0 \times \frac{18}{25}. \]
Calculons :
\[ 18 \times \frac{18}{25} = \frac{324}{25} = 12{,}96. \]
Ainsi, le tableau complété devient :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 12{,}96 & 18{,}0 \\ \hline 3{,}6 & 5 \\ \hline \end{array} \]
Pour résumer, les tableaux complétés sont :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 945 & 63 \\ \hline 315 & 21 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 4800 & 960 \\ \hline 40 & 8 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 12{,}96 & 18{,}0 \\ \hline 3{,}6 & 5 \\ \hline \end{array} \]
La méthode utilisée a été de déterminer la constante de proportionnalité \(k\) à partir d’une paire connue, puis d’utiliser cette constante pour trouver la valeur manquante dans l’autre paire.