Les tableaux suivants présentent des situations de proportionnalité. Dans chacun, déterminez la valeur manquante.
Première situation : Pour y = 117, x = 156.
Deuxième situation : Pour x = 90, y = 60.
Troisième situation : Pour x = 45, y = 15.
Nous avons ici trois tableaux représentant des situations de proportionnalité. La propriété principale dans la proportionnalité est que le rapport constant \(k\) est le même pour toutes les paires \((x,y)\). On peut écrire :
\[ y = k \cdot x \quad \text{ou} \quad k = \frac{y}{x} \]
Nous allons détailler la démarche pour chacun des tableaux.
Données :
- Lorsque \(x = 52\), alors \(y = 39\). - Nous cherchons \(x\) lorsque \(y =
117\).
Étapes de la résolution :
Détermination du coefficient de proportionnalité \(k\) :
Avec \(x = 52\) et \(y = 39\), on calcule :
\[ k = \frac{y}{x} = \frac{39}{52} \]
On simplifie \(\frac{39}{52}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par \(13\) (car \(39 = 3 \times 13\) et \(52 = 4 \times 13\)) :
\[ k = \frac{3}{4} \]
Utilisation de \(k\)
pour trouver \(x\) quand \(y = 117\) :
On écrit l’équation :
\[ y = k \cdot x \quad \Longrightarrow \quad 117 = \frac{3}{4} \cdot x \]
Pour isoler \(x\), on multiplie les deux côtés par l’inverse de \(\frac{3}{4}\), c’est-à-dire \(\frac{4}{3}\) :
\[ x = 117 \times \frac{4}{3} \]
Calculons :
\[ x = 117 \times \frac{4}{3} = \frac{468}{3} = 156 \]
Conclusion : Lorsque \(y = 117\), alors \(x = 156\).
Données :
- Lorsque \(x = 120\), alors \(y = 80\). - Nous cherchons \(y\) lorsque \(x =
90\).
Étapes de la résolution :
Détermination du coefficient de proportionnalité \(k\) :
On calcule :
\[ k = \frac{y}{x} = \frac{80}{120} \]
Simplifions \(\frac{80}{120}\) en divisant numérateur et dénominateur par \(40\) :
\[ k = \frac{80 \div 40}{120 \div 40} = \frac{2}{3} \]
Utilisation de \(k\)
pour trouver \(y\) quand \(x = 90\) :
On a :
\[ y = k \cdot x = \frac{2}{3} \times 90 \]
Calculons :
\[ y = \frac{2 \times 90}{3} = \frac{180}{3} = 60 \]
Conclusion : Lorsque \(x = 90\), alors \(y = 60\).
Données :
- Lorsque \(x = 15\), alors \(y = 5\). - Nous cherchons \(y\) lorsque \(x =
45\).
Étapes de la résolution :
Détermination du coefficient de proportionnalité \(k\) :
On calcule :
\[ k = \frac{y}{x} = \frac{5}{15} \]
Simplifions \(\frac{5}{15}\) en divisant par \(5\) :
\[ k = \frac{1}{3} \]
Utilisation de \(k\)
pour trouver \(y\) quand \(x = 45\) :
On écrit :
\[ y = k \cdot x = \frac{1}{3} \times 45 \]
Calculons :
\[ y = \frac{45}{3} = 15 \]
Conclusion : Lorsque \(x = 45\), alors \(y = 15\).
Pour le premier tableau :
Lorsque \(y = 117\), \(x = 156\).
Pour le deuxième tableau :
Lorsque \(x = 90\), \(y = 60\).
Pour le troisième tableau :
Lorsque \(x = 45\), \(y = 15\).
Chacune de ces démarches repose sur l’utilisation du coefficient de proportionnalité, et en multipliant ou divisant correctement, nous trouvons les valeurs manquantes.