Considérez les quatre situations de proportionnalité ci-dessous. Chaque tableau présente deux couples de valeurs. Une valeur est manquante (représentée par la lettre \(x\) ou \(y\)). Pour chaque tableau, déterminez la valeur manquante.
Tableau 1 : \[ \begin{array}{cc} x : & 8 \quad ? \\ y : & 10 \quad 15 \\ \end{array} \]
Tableau 2 : \[ \begin{array}{cc} x : & 36 \quad 12 \\ y : & 9 \quad ? \\ \end{array} \]
Tableau 3 : \[ \begin{array}{cc} x : & ? \quad 270 \\ y : & 210 \quad 70 \\ \end{array} \]
Tableau 4 : \[ \begin{array}{cc} x : & 5400 \quad 600 \\ y : & 90 \quad ? \\ \end{array} \]
Réponses :
Tableau 1 : x = 12
Tableau 2 : y = 3
Tableau 3 : x = 810
Tableau 4 : y = 10
Ci-dessous se trouve la correction détaillée pour chacune des situations de proportionnalité.
On a le tableau suivant :
\[ \begin{array}{cc} x : & 8 \quad ? \\ y : & 10 \quad 15 \\ \end{array} \]
Identifier les couples de valeurs
Écrire l’équation de proportionnalité
Dans une situation de proportionnalité, le rapport des valeurs du
premier couple est égal à celui du deuxième couple. Ainsi, on a : \[
\frac{8}{10} = \frac{x}{15}
\]
Résoudre l’équation
Pour trouver \(x\), on effectue un
produit en croix : \[
8 \times 15 = 10 \times x
\] Calculons \(8 \times 15\) :
\[
8 \times 15 = 120
\] L’équation devient alors : \[
120 = 10x
\] Pour isoler \(x\), on divise
les deux côtés par 10 : \[
x = \frac{120}{10} = 12
\]
Conclusion pour le Tableau 1 : La valeur manquante est \(x = 12\).
On a le tableau suivant :
\[ \begin{array}{cc} x : & 36 \quad 12 \\ y : & 9 \quad ? \\ \end{array} \]
Identifier les couples de valeurs
Écrire l’équation de proportionnalité
Le rapport des valeurs doit être constant : \[
\frac{36}{9} = \frac{12}{y}
\]
Calculer le rapport
Calculons \(\frac{36}{9}\) : \[
\frac{36}{9} = 4
\] L’équation devient donc : \[
4 = \frac{12}{y}
\]
Résoudre l’équation
Pour trouver \(y\), on peut réécrire :
\[
4y = 12 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{12}{4} = 3
\]
Conclusion pour le Tableau 2 : La valeur manquante est \(y = 3\).
On a le tableau suivant :
\[ \begin{array}{cc} x : & ? \quad 270 \\ y : & 210 \quad 70 \\ \end{array} \]
Identifier les couples de valeurs
Écrire l’équation de proportionnalité
Écrivons l’égalité des rapports : \[
\frac{x}{210} = \frac{270}{70}
\]
Calculer le rapport du deuxième couple
Simplifions \(\frac{270}{70}\).
D’abord, on peut diviser numérateur et dénominateur par 10 : \[
\frac{270}{70} = \frac{27}{7}
\] On peut soit continuer avec cette fraction, soit remarquer
que
\[
\frac{270}{70} = \frac{210 \times \frac{270}{70}}{210} \quad
\text{(étape de résolution suivante)}
\]
Résoudre l’équation par produit en croix
On multiplie les deux côtés par 210 : \[
x = 210 \times \frac{270}{70}
\] On simplifie la fraction en divisant 210 et 70 par 70 : \[
\frac{210}{70} = 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 3 \times 270 = 810
\]
Conclusion pour le Tableau 3 : La valeur manquante est \(x = 810\).
On a le tableau suivant :
\[ \begin{array}{cc} x : & 5400 \quad 600 \\ y : & 90 \quad ? \\ \end{array} \]
Identifier les couples de valeurs
Écrire l’équation de proportionnalité
On a : \[
\frac{5400}{90} = \frac{600}{y}
\]
Calculer le rapport
Calculons \(\frac{5400}{90}\) : \[
\frac{5400}{90} = 60
\] L’équation devient : \[
60 = \frac{600}{y}
\]
Résoudre l’équation
On procède par produit en croix : \[
60y = 600
\] On divise ensuite par 60 : \[
y = \frac{600}{60} = 10
\]
Conclusion pour le Tableau 4 : La valeur manquante est \(y = 10\).
Chaque tableau a été résolu en posant une égalité entre les rapports des couples de valeurs, puis en utilisant la méthode du produit en croix et la simplification nécessaire pour trouver la valeur inconnue.