Exercice 21

Exercice

Dans un marché exotique, les échanges suivants sont possibles :
- 3 ananas sont échangés contre 4 pêches,
- 4 pêches sont échangées contre 7 grenades.

Calculer :

1. Avec 12 ananas :
   

• le nombre obtenu de pêches,
  
• le nombre obtenu de grenades.

2. Avec 9 ananas :
   

• le nombre obtenu de pêches,
  
• le nombre obtenu de grenades.

3. Avec 28 pêches :
   

• le nombre obtenu d’ananas,
  
• le nombre obtenu de grenades.

4. Avec 56 grenades :
   

• le nombre obtenu d’ananas.

Réponse

1. 12 ananas donnent 16 pêches et 28 grenades.
   
2. 9 ananas donnent 12 pêches et 21 grenades.
   
3. 28 pêches correspondent à 21 ananas et 49 grenades.
   
4. 56 grenades correspondent à 24 ananas.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en utilisant les rapports d’échange donnés :

• Échange 1 : \(3\) ananas sont échangés contre \(4\) pêches, ce qui donne le rapport : \[ 1 \ \text{ananas} = \frac{4}{3} \ \text{pêches}. \]

• Échange 2 : \(4\) pêches sont échangées contre \(7\) grenades, donc : \[ 1 \ \text{pêche} = \frac{7}{4} \ \text{grenades}. \]

Nous pouvons aussi établir une relation directe entre un ananas et des grenades en combinant ces deux rapports : \[ 1 \ \text{ananas} = \frac{4}{3} \ \text{pêches} = \frac{4}{3} \times \frac{7}{4} \ \text{grenades} = \frac{7}{3} \ \text{grenades}. \]

Nous utiliserons ces rapports pour chaque point de l’exercice.

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a) Avec 12 ananas

Nombre de pêches obtenues

Puisque \(1\) ananas équivaut à \(\frac{4}{3}\) pêches, pour \(12\) ananas nous avons : \[ 12 \ \text{ananas} = 12 \times \frac{4}{3} \ \text{pêches} = \frac{48}{3} \ \text{pêches} = 16 \ \text{pêches}. \]

Nombre de grenades obtenues

De même, \(1\) ananas équivaut à \(\frac{7}{3}\) grenades, donc : \[ 12 \ \text{ananas} = 12 \times \frac{7}{3} \ \text{grenades} = \frac{84}{3} \ \text{grenades} = 28 \ \text{grenades}. \]

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b) Avec 9 ananas

Nombre de pêches obtenues

En utilisant le rapport pour un ananas : \[ 9 \ \text{ananas} = 9 \times \frac{4}{3} \ \text{pêches} = \frac{36}{3} \ \text{pêches} = 12 \ \text{pêches}. \]

Nombre de grenades obtenues

Utilisons le rapport entre les ananas et les grenades : \[ 9 \ \text{ananas} = 9 \times \frac{7}{3} \ \text{grenades} = \frac{63}{3} \ \text{grenades} = 21 \ \text{grenades}. \]

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c) Avec 28 pêches

Nous savons que \(3\) ananas donnent \(4\) pêches, ce qui équivaut à : \[ 1 \ \text{pêche} = \frac{3}{4} \ \text{ananas}. \]

Nombre d’ananas obtenus

Pour \(28\) pêches : \[ 28 \ \text{pêches} = 28 \times \frac{3}{4} \ \text{ananas} = \frac{84}{4} \ \text{ananas} = 21 \ \text{ananas}. \]

Nombre de grenades obtenues

D’autre part, \(1\) pêche équivaut à \(\frac{7}{4}\) grenades. Ainsi, pour \(28\) pêches : \[ 28 \ \text{pêches} = 28 \times \frac{7}{4} \ \text{grenades} = \frac{196}{4} \ \text{grenades} = 49 \ \text{grenades}. \]

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d) Avec 56 grenades

Nous remarquons qu’un ananas correspond à \(\frac{7}{3}\) grenades. Pour trouver le nombre d’ananas correspondant à \(56\) grenades, nous exprimons d’abord la valeur d’une grenade en ananas : \[ 1 \ \text{grenade} = \frac{3}{7} \ \text{ananas}. \]

Nombre d’ananas obtenus

Pour \(56\) grenades : \[ 56 \ \text{grenades} = 56 \times \frac{3}{7} \ \text{ananas} = \frac{168}{7} \ \text{ananas} = 24 \ \text{ananas}. \]

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Conclusion

• a) Avec 12 ananas :
  • Nombre de pêches obtenues : \(16\)
  • Nombre de grenades obtenues : \(28\)
• b) Avec 9 ananas :
  • Nombre de pêches obtenues : \(12\)
  • Nombre de grenades obtenues : \(21\)
• c) Avec 28 pêches :
  • Nombre d’ananas obtenus : \(21\)
  • Nombre de grenades obtenues : \(49\)
• d) Avec 56 grenades :
  • Nombre d’ananas obtenus : \(24\)

Cette approche permet de convertir chaque unité en se basant sur les rapports d’échange donnés et d’obtenir ainsi les résultats demandés.