Exercice
Sur une carte, la distance mesurée entre la gare de départ et la gare d’arrivée du funiculaire est de \(8\,\text{cm}\). La station supérieure se situe à \(1500\,\text{m}\) d’altitude, tandis que le départ se trouve à \(1000\,\text{m}\). La pente moyenne du funiculaire est de \(25\,\%\).
Déterminez l’échelle de la carte.
L’échelle de la carte est 1 : 25 000.
Nous allons déterminer l’échelle de la carte en comparant la distance réelle entre les deux gares (calculée à partir des informations relatives à l’altitude et à la pente) avec la distance mesurée sur la carte.
Sur le terrain, la gare d’arrivée se trouve à \(1500\,\text{m}\) d’altitude et la gare de départ à \(1000\,\text{m}\). La différence d’altitude est donc : \[ \Delta h = 1500\,\text{m} - 1000\,\text{m} = 500\,\text{m}. \]
La pente moyenne est donnée en pourcentage. Pour une pente de \(25\,\%\), on a la formule : \[ \text{Pente} = \frac{\Delta h}{d_{\text{hor}}} \times 100, \] où \(d_{\text{hor}}\) représente la distance horizontale réelle entre les deux gares.
En isolant \(d_{\text{hor}}\), on obtient : \[ d_{\text{hor}} = \frac{\Delta h}{\text{Pente}/100} = \frac{500\,\text{m}}{25/100} = \frac{500}{0.25} = 2000\,\text{m}. \]
Pour pouvoir comparer avec la mesure sur la carte qui est donnée en centimètres, nous convertissons la distance horizontale réelle en centimètres : \[ 2000\,\text{m} = 2000 \times 100\,\text{cm} = 200\,000\,\text{cm}. \]
Sur la carte, la distance entre la gare de départ et la gare d’arrivée est de \(8\,\text{cm}\). L’échelle (rapport) est définie par : \[ \frac{\text{Distance sur la carte}}{\text{Distance réelle}}. \]
On exprime cette échelle sous la forme d’un rapport \(1:n\). Ainsi, nous avons : \[ n = \frac{\text{Distance réelle}}{\text{Distance sur la carte}} = \frac{200\,000\,\text{cm}}{8\,\text{cm}}. \]
Calculons ce rapport : \[ n = \frac{200\,000}{8} = 25\,000. \]
On trouve donc que l’échelle de la carte est de : \[ 1 : 25\,000. \]
L’échelle de la carte est \(\boxed{1 : 25\,000}\).
Ce résultat signifie que \(1\,\text{cm}\) sur la carte représente \(25\,000\,\text{cm}\) en réalité, ce qui correspond à \(250\,\text{m}\).