Exercice 18

Exercice

1. Comparer l’inclinaison d’une colline dont la pente est de \(40\%\) et celle d’un sentier qui forme un angle de \(40^\circ\) avec l’horizontale.

2. Dessiner la droite dont la pente est de \(200\%\).

Réponse

1. La colline à 40 % a un angle d’environ 21,8°, tandis qu’un sentier à 40° correspond à une pente d’environ 84 %.
   
2. Une pente de 200 % (coefficient 2) se trace en passant par (0,0) et (1,2).

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour l’exercice.

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Partie a)

Nous devons comparer l’inclinaison de deux situations :

1. Une colline avec une pente de 40 %
   La pente de 40 % signifie que pour 100 unités de déplacement horizontal, l’élévation verticale est de 40 unités. Mathématiquement, le coefficient directeur (la “pente”) est : \[ m = \frac{\text{élévation}}{\text{déplacement horizontal}} = 0,40. \] Pour connaître l’angle \(\theta\) formé avec l’horizontale, on utilise la tangente : \[ \tan(\theta) = 0,40. \] On calcule ainsi : \[ \theta = \arctan(0,40) \approx 21,8^\circ. \]

2. Un sentier qui forme un angle de \(40^\circ\) avec l’horizontale
   Ici, l’angle donné est directement \(40^\circ\). Pour connaître la pente sous forme de pourcentage, on peut calculer la tangente de cet angle : \[ \tan(40^\circ) \approx 0,8391. \] Ce coefficient directeur correspond à une pente exprimée en pourcentage par : \[ 0,8391 \times 100 \approx 83,91\,\%. \]

Comparaison :
- La colline a une pente qui correspond à un angle d’environ \(21,8^\circ\).
- Le sentier a un angle de \(40^\circ\), soit une pente d’environ 84 %.

Ainsi, le sentier est beaucoup plus raide que la colline.

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Partie b)

On vous demande de dessiner la droite dont la pente est de 200 %.

1. Interprétation de la pente de 200 % :
   Une pente de 200 % signifie que pour chaque 100 unités de déplacement horizontal, l’élévation verticale est de 200 unités. Le coefficient directeur est donc : \[ m = \frac{200}{100} = 2. \] Cela veut dire que pour chaque unité de déplacement à droite, la hauteur monte de 2 unités.

2. Procédure de tracé de la droite :

   • Choix d’un point de départ : Vous pouvez prendre par exemple l’origine \(O(0,0)\).
     
   • Calcul d’un second point : À partir de \(O(0,0)\), avancez d’une unité vers la droite pour atteindre \(1\) sur l’axe horizontal. La droite monte alors de \(2\) unités, ce qui donne \(P(1, 2)\).
     
   • Traçage de la droite : Avec les points \(O(0,0)\) et \(P(1,2)\), tracez une droite qui les relie.

On peut résumer : - À l’origine, positionnez un point. - À partir de ce point, allez vers la droite de 1 unité et montez de 2 unités pour placer un second point. - Reliez ces deux points avec une règle pour obtenir la droite de pente 200 %.

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Conclusion

• Pour la partie a), la colline (40 % ou environ \(21,8^\circ\)) est moins inclinée que le sentier (40° ou environ 84 %).
• Pour la partie b), la droite se trace en prenant l’origine et le point \((1,2)\), ce qui correspond à une pente \(m=2\).

Cette démarche permet de comprendre la différence entre une pente exprimée en pourcentage et un angle, et montre comment traduire une pente en pourcentage en coefficient directeur pour le tracé d’une droite.