Exercice 17

Exercice :

1. Représente précisément une inclinaison de \(10\%\).

2. En te déplaçant de \(150\,\mathrm{m}\) sur un chemin équipé de ce repère, indique de combien de mètres tu es monté ou descendu.

Réponse

1. Une inclinaison de 10 % signifie qu’en parcourant 100 m horizontalement, on monte (ou descend) de 10 m, ce qui correspond à un angle d’environ 5,71°.

2. Pour 150 m, la variation verticale est de 150 × 0,1 = 15 m.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée :

---

a) Représenter précisément une inclinaison de \(10\%\)

Étape 1 : Comprendre la signification d’une inclinaison de \(10\%\)

Une inclinaison de \(10\%\) signifie que pour tout déplacement de \(100\) unités (par exemple, mètres) horizontalement, il y a une variation verticale de \(10\) unités. En d’autres termes, le rapport entre la variation verticale et le déplacement horizontal est de :

\[ \frac{\text{variation verticale}}{\text{déplacement horizontal}} = \frac{10}{100} = 0,1. \]

Étape 2 : Tracer cette représentation

Pour représenter ce repère :

1. Dessine un axe horizontal (l’axe des abscisses) et un axe vertical (l’axe des ordonnées).
2. Sur l’axe horizontal, marque une longueur de \(100\,\mathrm{m}\) (ou toute unité choisie).
3. À partir de l’extrémité du segment horizontal de \(100\,\mathrm{m}\), monte de \(10\,\mathrm{m}\) le long de l’axe vertical.
4. Relie le point de départ à ce point final par une droite. Cette droite indique la pente du chemin.

On peut aussi indiquer l’angle \(\alpha\) correspondant à cette pente :

\[ \tan(\alpha) = 0,1 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx \arctan(0,1) \approx 5,71^\circ. \]

Donc, l’angle entre la droite et l’horizontale est d’environ \(5,71^\circ\).

Représentation schématique

Voici une idée de schéma :

latex (Point B) • /| / | 10 m / | / | (Point A)•—-• <- 100 m

• Le segment horizontal \(AB\) mesure \(100\,\mathrm{m}\).
• Le segment vertical \(BC\) mesure \(10\,\mathrm{m}\).
• La droite \(AC\) représente l’inclinaison de \(10\%\).

---

b) Calculer la montée ou la descente sur \(150\,\mathrm{m}\)

Étape 1 : Relever la donnée de l’inclinaison

Nous avons établi qu’une inclinaison de \(10\%\) correspond à une montée (ou une descente) de \(10\,\mathrm{m}\) pour \(100\,\mathrm{m}\) parcourus horizontalement.

Étape 2 : Calculer la variation verticale pour \(150\,\mathrm{m}\)

Pour déterminer la variation verticale lors d’un déplacement de \(150\,\mathrm{m}\), on utilise la proportion suivante :

\[ \frac{\text{variation verticale}}{150\,\mathrm{m}} = 0,1 \quad \Longrightarrow \quad \text{variation verticale} = 150\,\mathrm{m} \times 0,1. \]

En effectuant le calcul :

\[ 150 \times 0,1 = 15\,\mathrm{m}. \]

Conclusion pour le déplacement

• Si tu te déplaces vers le haut sur un chemin incliné de \(10\%\), tu montes de \(15\,\mathrm{m}\) en parcourant \(150\,\mathrm{m}\).
• Si tu te déplaces vers le bas sur ce même chemin, tu descends de \(15\,\mathrm{m}\) sur \(150\,\mathrm{m}\).

---

Résumé de la correction

• a) Inclinaison de \(10\%\) :
  Pour un déplacement horizontal de \(100\,\mathrm{m}\), la variation verticale est de \(10\,\mathrm{m}\). Sur un schéma, tu représentes un triangle rectangle avec les côtés mesurant \(100\,\mathrm{m}\) (horizontal) et \(10\,\mathrm{m}\) (vertical). L’angle d’inclinaison est d’environ \(5,71^\circ\).

• b) Variation sur \(150\,\mathrm{m}\) :
  La variation verticale est calculée par \(150\,\mathrm{m} \times 0,1 = 15\,\mathrm{m}\). Ainsi, en te déplaçant sur \(150\,\mathrm{m}\), tu montes (ou descends) de \(15\,\mathrm{m}\).

Cette méthode permet de visualiser facilement l’inclinaison et de calculer la variation d’altitude pour n’importe quelle distance.