Exercice 16

Exercice

Au cours des dix dernières années, la population d’un village a d’abord augmenté de \(15 \%\), puis diminué de \(20 \%\). Aujourd’hui, le village compte \(480\) habitants.

Combien d’habitants y avait-il dans ce village il y a dix ans ?

Réponse

La population initiale du village était d’environ 522 habitants.

Corrigé détaillé

Nous cherchons le nombre d’habitants initial, que nous appellerons \(P\). D’après l’énoncé, le village a connu deux transformations successives :

1. Une augmentation de \(15\%\).
2. Une diminution de \(20\%\).

Voici les étapes détaillées :

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Étape 1 : Traduire les pourcentages en coefficients multiplicatifs

• Une augmentation de \(15\%\) se traduit par un coefficient multiplicateur de \[ 1 + \frac{15}{100} = 1,15. \]
• Une diminution de \(20\%\) se traduit par un coefficient multiplicateur de \[ 1 - \frac{20}{100} = 0,80. \]

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Étape 2 : Établir l’équation

Après ces deux transformations, la population finale est donnée par : \[ P \times 1,15 \times 0,80 = 480. \] On constate que : \[ 1,15 \times 0,80 = 0,92. \] L’équation s’écrit donc : \[ 0,92\,P = 480. \]

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Étape 3 : Résoudre l’équation

Pour trouver \(P\), on divise les deux côtés de l’équation par \(0,92\) : \[ P = \frac{480}{0,92}. \] Effectuons le calcul : \[ P \approx 521,74. \]

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Étape 4 : Interprétation du résultat

Puisque le nombre d’habitants doit être un nombre entier, on arrondit le résultat au nombre entier le plus proche. Ainsi, on peut conclure que, il y a dix ans, le village comptait environ \(522\) habitants.

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Conclusion

Il y avait environ \(\boxed{522}\) habitants dans le village il y a dix ans.