Exercice 14

Exercice

1. On réduit de \(30\%\) les dimensions d’un document carré de \(8\,\text{cm}\) de côté. La figure obtenue est trop petite. De quel pourcentage faut-il agrandir ce nouveau document pour retrouver le format initial ?

2. On réduit de \(25\%\) les dimensions du même document initial. Par quel nombre doit-on multiplier la mesure du côté obtenue après réduction pour retrouver celle du document carré de départ ?

Réponse

1. Il faut agrandir le document réduit de 30 % d’environ 42,86 %.
   
2. Il faut multiplier la mesure du côté réduit de 25 % par 4/3.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des parties de l’exercice étape par étape.

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Partie a)

Énoncé :
On réduit de \(30\%\) les dimensions d’un document carré de \(8\,\text{cm}\) de côté. La figure obtenue est trop petite. De quel pourcentage faut-il agrandir ce nouveau document pour retrouver le format initial ?

Étape 1 : Calcul de la nouvelle dimension après réduction

• Le document initial est un carré de côté \(8\,\text{cm}\).
• Réduire de \(30\%\) revient à conserver \(100\% - 30\% = 70\%\) des dimensions.
• La longueur du côté après réduction sera : \[ 8\,\text{cm} \times 0.70 = 5.6\,\text{cm} \]

Étape 2 : Calcul du pourcentage d’agrandissement pour revenir à \(8\,\text{cm}\)

• Nous voulons passer de \(5.6\,\text{cm}\) à \(8\,\text{cm}\).
• L’augmentation en centimètres est : \[ 8\,\text{cm} - 5.6\,\text{cm} = 2.4\,\text{cm} \]
• Pour connaître le pourcentage d’agrandissement par rapport à \(5.6\,\text{cm}\), on utilise la formule : \[ \text{Pourcentage d'agrandissement} = \frac{\text{augmentation}}{\text{valeur de base}} \times 100\% \] Ici, la valeur de base est \(5.6\,\text{cm}\) : \[ \frac{2.4}{5.6} \times 100\% \approx 42.86\% \]

Conclusion pour la partie a) :
Il faut agrandir le document obtenu d’environ \(42.86\%\) pour retrouver le format initial.

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Partie b)

Énoncé :
On réduit de \(25\%\) les dimensions du même document initial. Par quel nombre doit-on multiplier la mesure du côté obtenue après réduction pour retrouver celle du document carré de départ ?

Étape 1 : Calcul de la nouvelle dimension après réduction

• Réduire de \(25\%\) signifie conserver \(100\% - 25\% = 75\%\) des dimensions.
• Ainsi, la longueur du côté après réduction est : \[ 8\,\text{cm} \times 0.75 = 6\,\text{cm} \]

Étape 2 : Détermination du facteur multiplicatif pour revenir à \(8\,\text{cm}\)

• Nous cherchons un nombre \(k\) tel que : \[ 6\,\text{cm} \times k = 8\,\text{cm} \]
• Pour trouver \(k\), on divise : \[ k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \]

Conclusion pour la partie b) :
Pour retrouver la mesure initiale du côté, il faut multiplier la longueur obtenue après réduction par \(\frac{4}{3}\).

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Réponse finale

• a) Il faut agrandir de \(42.86\%\) le document réduit de \(30\%\).
  
• b) Il faut multiplier la longueur réduite de \(25\%\) par \(\frac{4}{3}\) pour retrouver la mesure initiale.