Exercice 9

Exercice

Sur une carte à l’échelle 1:40000, la distance mesurée entre deux villes est de \(6\,\text{cm}\).

Déterminez la distance correspondante entre ces deux villes sur des cartes à l’échelle :

1:20000,
1:8000,
1:50000,
1:200000.

Calculez la distance réelle (portion à vol d’oiseau) entre ces deux villes.

Réponse

Sur une carte à échelle 1:20000 : 12 cm, 1:8000 : 30 cm, 1:50000 : 4,8 cm et 1:200000 : 1,2 cm.
La distance réelle entre les villes est de 240000 cm, soit 2,4 km.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée en plusieurs étapes :

Rappel du problème

On sait que sur une carte à l’échelle \(1:40000\), la distance mesurée entre deux villes est de \(6\,\text{cm}\).

Partie a) : On doit déterminer quelle distance sera mesurée entre ces deux villes sur d’autres cartes aux échelles :
- \(1:20000\)
- \(1:8000\)
- \(1:50000\)
- \(1:200000\)
Partie b) : On doit calculer la distance réelle (portion à vol d’oiseau) entre les deux villes.

Étape 1 : Calcul de la distance réelle entre les villes

Sur la carte avec l’échelle \(1:40000\), chaque centimètre représente \(40000\,\text{cm}\) en réalité. La distance réelle entre les villes est donc :

\[ \text{Distance réelle} = 6\,\text{cm} \times 40000 = 240000\,\text{cm} \]

Pour mieux appréhender cette grandeur, nous pouvons convertir les centimètres en kilomètres. Sachant que :

\[ 1\,\text{km} = 100000\,\text{cm}, \]

on obtient :

\[ 240000\,\text{cm} = \frac{240000}{100000}\,\text{km} = 2.4\,\text{km}. \]

Étape 2 : Calcul des distances sur les autres cartes

Pour chaque carte de nouvelle échelle \(1:n\), la distance mise sur la carte (que nous noterons \(d_{\text{carte}}\)) est obtenue en divisant la distance réelle par le facteur de l’échelle \(n\).
La formule générale est :

\[ d_{\text{carte}} = \frac{\text{Distance réelle}}{n}. \]

Nous appliquons cette formule pour chaque échelle :

1. Pour l’échelle \(1:20000\)

\[ d_{\text{carte}} = \frac{240000\,\text{cm}}{20000} = 12\,\text{cm}. \]

2. Pour l’échelle \(1:8000\)

\[ d_{\text{carte}} = \frac{240000\,\text{cm}}{8000} = 30\,\text{cm}. \]

3. Pour l’échelle \(1:50000\)

\[ d_{\text{carte}} = \frac{240000\,\text{cm}}{50000} = 4.8\,\text{cm}. \]

4. Pour l’échelle \(1:200000\)

\[ d_{\text{carte}} = \frac{240000\,\text{cm}}{200000} = 1.2\,\text{cm}. \]

Récapitulatif des résultats

Distance réelle entre les villes (portion à vol d’oiseau) :
\(\displaystyle 240000\,\text{cm}\) soit \(2.4\,\text{km}\).
Distance sur les autres cartes :
- À l’échelle \(1:20000\) : \(12\,\text{cm}\).
- À l’échelle \(1:8000\) : \(30\,\text{cm}\).
- À l’échelle \(1:50000\) : \(4.8\,\text{cm}\).
- À l’échelle \(1:200000\) : \(1.2\,\text{cm}\).

Conclusion

Nous avons commencé par calculer la distance réelle entre les deux villes à partir de la carte donnée. Ensuite, nous avons utilisé cette distance réelle et l’avons combinée avec chaque échelle pour déterminer combien de centimètres seraient représentés sur chaque nouvelle carte.

Ainsi, la solution complète de l’exercice est :

\[ \begin{array}{ll} \text{a)} & \begin{cases} \text{Échelle } 1:20000 :\ 12\,\text{cm}, \\ \text{Échelle } 1:8000 :\ 30\,\text{cm}, \\ \text{Échelle } 1:50000 :\ 4.8\,\text{cm}, \\ \text{Échelle } 1:200000 :\ 1.2\,\text{cm}. \end{cases} \\ \\ \text{b)} & \displaystyle \text{Distance réelle } = 240000\,\text{cm} = 2.4\,\text{km}. \end{array} \]

Cette solution a permis d’indiquer pas à pas comment transformer la mesure sur la carte d’origine en distance réelle et ensuite en mesures sur d’autres cartes à différentes échelles.