Exercice :
Sur une carte à l’échelle \(1:15000\), la distance mesurée entre deux villes est de \(4,2\) cm.
Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ?
Sur cette même carte, quelle distance en centimètres représente \(2,8\) km en réalité ?
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Sur une carte à l’échelle \(1:15000\), la distance mesurée entre deux villes est de \(4,2\) cm.
a) Quelle est la distance réelle entre ces deux villes ?
b) Sur cette même carte, quelle distance en centimètres représente \(2,8\) km en réalité ?
Comprendre l’échelle :
L’échelle \(1:15000\) signifie que 1 cm sur la carte correspond à 15000 cm dans la réalité.
Calculer la distance réelle :
La distance mesurée sur la carte est de \(4,2\) cm. Pour obtenir la distance réelle, il suffit de multiplier par le facteur de l’échelle :
\[ \text{Distance réelle en cm} = 4,2 \times 15000 \]
Opération numérique :
Calculons le produit :
\[ 4,2 \times 15000 = 63000 \text{ cm} \]
Conversion en mètres :
Puisque \(1\, m = 100\, cm\), on convertit les centimètres en mètres :
\[ 63000 \text{ cm} = \frac{63000}{100}\, m = 630\, m \]
Réponse a) : La distance réelle entre les deux villes est de 630 mètres.
Convertir les kilomètres en centimètres :
D’abord, exprimons \(2,8\) km en centimètres.
Ainsi,
\[ 2,8\, km = 2,8 \times 1000\, m = 2800\, m \]
Et en centimètres :
\[ 2800\, m = 2800 \times 100\, cm = 280000\, cm \]
Appliquer l’échelle pour obtenir la distance sur la carte :
Comme l’échelle est \(1:15000\), cela signifie que \(15000\) cm en réalité correspondent à \(1\) cm sur la carte. Pour trouver la distance sur la carte \(\ell\) en centimètres, on utilise la relation :
\[ \ell = \frac{\text{Distance réelle en cm}}{15000} \]
Donc,
\[ \ell = \frac{280000}{15000} \]
Effectuer le calcul :
Simplifions la fraction :
\[ \ell = \frac{280000}{15000} = \frac{280}{15} \]
On peut diviser le numérateur et le dénominateur par 5 :
\[ \frac{280}{15} = \frac{56}{3} \approx 18,67 \text{ cm} \]
Réponse b) : Sur la carte, \(2,8\) km en réalité sont représentés par environ 18,67 cm.
a) La distance réelle entre les deux villes est de 630 m.
b) \(2,8\) km en réalité correspondent à environ 18,67 cm sur la carte.
Cette solution détaille chaque étape pour garantir une compréhension complète du raisonnement.