Parmi les quatre énoncés suivants, lesquels décrivent des situations de proportionnalité ? Justifie ta réponse.
Un camion a parcouru \(150 \, \text{km}\) en consommant \(15 \, \text{L}\) de carburant, et il a parcouru \(250 \, \text{km}\) en consommant \(25 \, \text{L}\).
Un cycliste a parcouru \(80 \, \text{km}\) en \(5 \, \text{h}\); une heure plus tard, il a parcouru \(16 \, \text{km}\) supplémentaires.
À 6 ans, Camille mesurait \(110 \, \text{cm}\); à 12 ans, sa taille a augmenté de \(30 \, \text{cm}\).
Une bouilloire met \(4 \, \text{min}\) pour chauffer \(1 \, \text{L}\) d’eau. Si deux bouilloires identiques sont utilisées simultanément pendant le même temps, la quantité totale d’eau chauffée est doublée.
De plus, lors d’un séjour aux États-Unis, tu remarques qu’un compteur
de vitesse affiche \(90 \,
\text{miles/h}\), ce qui correspond à environ \(145 \, \text{km/h}\). Un panneau indique
ensuite que la vitesse est limitée à \(55 \,
\text{miles/h}\) sur certaines routes.
À quelle vitesse, environ, cela correspond-il en kilomètres par heure
?
Réponse courte :
– Les situations 1, 2 et 4 sont proportionnelles (le rapport est constant), tandis que la situation 3 ne l’est pas.
– 55 miles/h ≈ 88,5 km/h.
Voici la correction détaillée de cet exercice.
On dit qu’une situation est proportionnelle lorsqu’il existe une relation linéaire passant par l’origine, c’est-à-dire que l’on peut écrire :
\[ y = k \times x \]
pour une constante \(k\). Autrement dit, dans une situation proportionnelle, le rapport entre les deux grandeurs est constant.
« Un camion a parcouru \(150 \, \text{km}\) en consommant \(15 \, \text{L}\) de carburant, et il a parcouru \(250 \, \text{km}\) en consommant \(25 \, \text{L}\). »
Étapes de vérification :
Pour le premier trajet, le rapport distance/carburant est :
\[ \frac{150}{15} = 10 \, \text{km/L}. \]
Pour le second trajet, on a :
\[ \frac{250}{25} = 10 \, \text{km/L}. \]
Conclusion :
Le même coefficient de proportionnalité (\(10
\, \text{km/L}\)) est obtenu dans les deux cas. La distance
parcourue est donc proportionnelle à la quantité de carburant
consommée.
« Un cycliste a parcouru \(80 \, \text{km}\) en \(5 \, \text{h}\); une heure plus tard, il a parcouru \(16 \, \text{km}\) supplémentaires. »
Étapes de vérification :
Pour la première partie du trajet, le rapport distance/temps est :
\[ \frac{80}{5} = 16 \, \text{km/h}. \]
Pour la seconde partie, le cycliste effectue :
\[ \frac{16}{1} = 16 \, \text{km/h}. \]
On constate que le cycliste se déplace à la même vitesse (soit \(16 \, \text{km/h}\)) pendant chacune des périodes.
Explication :
Ici, la distance parcourue est directement proportionnelle au temps
écoulé (on a \(\text{distance} = 16 \times
\text{temps}\)). Le point de départ est l’origine (0 heure
correspond à 0 km) et pour chaque heure, la distance augmente de \(16 \, \text{km}\).
Conclusion :
La situation est proportionnelle.
« À 6 ans, Camille mesurait \(110 \, \text{cm}\); à 12 ans, sa taille a augmenté de \(30 \, \text{cm}\). »
Analyse :
Pour qu’il y ait proportionnalité entre l’âge et la taille, il faudrait
que la taille soit égale à un coefficient constant multiplié par l’âge
(avec 0 cm à 0 an). Ici : - À 6 ans, la taille est \(110 \, \text{cm}\). - À 12 ans, la taille
totale serait \(110 + 30 = 140 \,
\text{cm}\).
Si la relation était proportionnelle, il existerait un nombre \(k\) tel que :
\[ 6 \times k = 110 \quad \text{et} \quad 12 \times k = 140. \]
Or :
\[ k = \frac{110}{6} \approx 18,33 \quad \text{et} \quad k = \frac{140}{12} \approx 11,67. \]
Les deux rapports ne sont pas égaux.
Conclusion :
La relation entre l’âge et la taille dans cet énoncé n’est pas
proportionnelle.
« Une bouilloire met \(4 \, \text{min}\) pour chauffer \(1 \, \text{L}\) d’eau. Si deux bouilloires identiques sont utilisées simultanément pendant le même temps, la quantité totale d’eau chauffée est doublée. »
Explications :
Conclusion :
Cette situation respecte la proportionnalité car la quantité totale
d’eau chauffée est le double de celle d’une seule bouilloire pour le
même temps.
Les énoncés qui décrivent des situations de proportionnalité sont : - Énoncé 1 (distance et quantité de carburant) ; - Énoncé 2 (distance et temps, avec une vitesse constante) ; - Énoncé 4 (quantité d’eau chauffée et nombre de bouilloires).
L’énoncé 3 n’est pas une situation de proportionnalité.
On nous donne que dans un premier cas :
\[ 90 \, \text{miles/h} \approx 145 \, \text{km/h}. \]
Pour convertir \(55 \, \text{miles/h}\) en kilomètres par heure, on utilise le facteur de conversion :
\[ 1 \, \text{mile} \approx 1,609 \, \text{km}. \]
Calcul :
\[ 55 \, \text{miles/h} \approx 55 \times 1,609 \, \text{km/h}. \]
Effectuons le calcul :
\[ 55 \times 1,609 \approx 88,5 \, \text{km/h}. \]
Conclusion :
La vitesse de \(55 \, \text{miles/h}\)
correspond approximativement à \(88,5
\, \text{km/h}\), ce qui peut être arrondi à
\(89 \, \text{km/h}\)
ou \(90 \,
\text{km/h}\) si l’on cherche une valeur proche.
Situations de proportionnalité :
Les énoncés 1, 2 et 4 décrivent des situations de
proportionnalité.
L’énoncé 3 n’est pas une situation de proportionnalité.
Conversion de vitesse :
\(55 \, \text{miles/h}\) correspond
environ à \(88,5 \,
\text{km/h}\).