Exercice : Simulation du problème des canards et des chasseurs
Six chasseurs se tiennent autour d’un étang et six canards viennent se poser sur l’étang. Sans pouvoir consulter leurs coéquipiers, chaque chasseur choisit un canard et tire (ils sont tous d’excellents tireurs et touchent leur cible). Il est possible que plusieurs chasseurs ciblent le même canard.
On demande de déterminer la possibilité que \(1\), \(2\), \(3\), etc. canards puissent s’envoler indemnes.
Pour la simulation, chaque chasseur est représenté par un dé, et le canard qu’il vise est indiqué par le nombre de points obtenu au lancer du dé.
La simulation d’un phénomène à l’aide d’un ordinateur, également connue sous le nom de méthode de Monte Carlo, est souvent utilisée en physique pour évaluer la probabilité d’un événement.
La probabilité d’avoir exactement k canards indemnes est donnée par
P(k) = [C(6, k) × (6 – k)! × S(6, 6 – k)]⁄6⁶.
En particulier, on trouve environ : P(0) ≈ 1,54%, P(1) ≈ 23,15%, P(2) ≈ 50,13%, P(3) ≈ 23,15%, P(4) ≈ 1,99%, P(5) ≈ 0,013%, P(6) = 0.
Ainsi, la configuration la plus probable est celle où 2 canards restent indemnes.
Voici une correction détaillée permettant de comprendre comment on peut « simuler » le problème des canards et des chasseurs et calculer la probabilité que \(k\) canards restents indemnes (c’est-à-dire n’aient reçu aucun coup) pour \(k=0,1,2,\ldots,6\).
On dispose : - De 6 chasseurs qui effectuent chacun un lancer de dé.
- De 6 canards, numérotés de 1 à 6. - Lorsqu’un chasseur lance le dé, le
nombre qui apparaît indique le canard qu’il vise. - Tous les chasseurs
tirent simultanément.
- Il est possible que plusieurs chasseurs choisissent le même
canard.
Remarque importante :
Un canard qui n’est pas visé par aucun des 6 tirs s’envole indemne.
Le problème revient donc à répartir 6 tirs (représentés par des lancers de dé) parmi 6 canards. La situation donnée peut être assimilée à un problème de répartition dans des “cases” (ici les canards) à partir d’un total de 6 tirs.
Chaque chasseur a 6 possibilités (les faces du dé). Ainsi, le nombre total de configurations possibles est :
\[ \text{Nombre total} = 6^6\,. \]
Pour qu’exactement \(k\) canards restent indemnes, on doit obtenir : - \(k\) canards qui ne sont pas visés par aucun chasseur, - et \(6-k\) canards qui sont visés par au moins un chasseur.
Parmi les 6 canards, il faut choisir \(k\) canards qui ne seront pas tirés. Le nombre de façons de procéder est :
\[ \binom{6}{k}\,. \]
Les 6 tirs doivent être répartis parmi les \(6-k\) canards restants, avec la contrainte que chaque canard ciblé reçoit au moins un tir (ce qui garantit qu’il ne s’envole pas).
La situation est équivalente à la suivante : on a 6 « éléments » (les tirs) que l’on répartit sur \(6-k\) « cases » (les canards) de façon à ce qu’aucune case ne soit vide.
Le nombre de façons de répartir \(6\) tirs sur \(6-k\) cases de manière « non vide » est donné par la formule :
\[ \text{Nombre de répartitions surjectives} = (6-k)! \, S(6,6-k)\,, \]
où \(S(6,6-k)\) est le nombre de partitions des 6 tirs en \(6-k\) sous-ensembles.
La probabilité \(P(k)\) d’avoir exactement \(k\) canards qui s’envolent indemnes est :
\[ P(k) = \frac{\displaystyle \binom{6}{k}\, (6-k)! \, S(6,6-k)}{6^6}\,. \]
Les valeurs des nombres de partitions (les nombres de Stirling de seconde espèce) pour 6 éléments sont connues :
Notons qu’il n’y a pas de répartition valide pour obtenir 6 canards indemnes puisque tous les chasseurs tirent et chaque tir va forcément sur un canard. Ainsi, \(P(6) = 0\).
Calculons les probabilités pour \(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5\) :
Donc :
\[ P(0) = \frac{1 \times 720 \times 1}{6^6} = \frac{720}{46656} \approx 0,0154\quad (1,54\%) \]
Donc :
\[ P(1) = \frac{6 \times 120 \times 15}{46656} = \frac{10800}{46656} \approx 0,2315\quad (23,15\%) \]
Donc :
\[ P(2) = \frac{15 \times 24 \times 65}{46656} = \frac{23400}{46656} \approx 0,5013\quad (50,13\%) \]
Donc :
\[ P(3) = \frac{20 \times 6 \times 90}{46656} = \frac{10800}{46656} \approx 0,2315\quad (23,15\%) \]
Donc :
\[ P(4) = \frac{15 \times 2 \times 31}{46656} = \frac{930}{46656} \approx 0,01993\quad (1,99\%) \]
Donc :
\[ P(5) = \frac{6 \times 1 \times 1}{46656} = \frac{6}{46656} \approx 0,0001286\quad (0,013\%) \]
Tous les chasseurs doivent ne toucher aucun canard, ce qui n’est pas possible puisque chacun tire une fois :
\[ P(6) = 0\,. \]
Les probabilités qu’un certain nombre de canards s’envolent indemnes lorsque chaque chasseur tire selon le résultat d’un dé sont donc :
On remarque que la configuration la plus probable est celle où 2 canards restent indemnes.
Pour simuler ce phénomène au moyen d’un ordinateur (méthode de Monte Carlo), on peut procéder ainsi :
Cette approche permet de confirmer les probabilités théoriques obtenues par le calcul combinatoire.
Cette démarche détaillée vous montre comment modéliser le problème, le transformer en un problème de répartition et utiliser les outils combinatoires pour calculer les probabilités de chaque configuration concernant le nombre de canards indemnes.