Lancez six dés et comptez le nombre de faces distinctes obtenues. Les mathématiciens ont établi les probabilités suivantes :
Vérifiez ces prévisions en réalisant au moins 200 expériences (le travail peut être réparti entre plusieurs groupes).
Réalisez au moins 200 lancers de six dés. Pour chaque lancer, comptez le nombre de faces distinctes obtenues et enregistrez les résultats. Calculez ensuite la fréquence de chaque occurrence et comparez-la aux probabilités théoriques suivantes : 0,01% pour 1 face, 2% pour 2 faces, 23,2% pour 3 faces, 50,1% pour 4 faces, 23,2% pour 5 faces et 1,5% pour 6 faces. Par exemple, sur 200 lancers, on s’attend à environ 0, 4, 46, 100, 46 et 3 occurrences respectivement.
Voici une correction détaillée qui explique les étapes pour réaliser et vérifier cet exercice.
On demande de lancer six dés, de déterminer le nombre de faces différentes apparues et de comparer les fréquences expérimentales avec les probabilités théoriques données :
L’objectif de l’exercice est de réaliser au moins 200 expériences (les travaux peuvent être répartis entre plusieurs groupes) et comparer le résultat obtenu expérimentalement avec les prévisions.
Pour chaque expérience, procédez comme suit :
Répétez cette procédure pour au moins 200 lancers (une expérience correspond à un lancer de six dés).
Créez un tableau pour noter, pour chacune des 200 (ou plus) expériences, le nombre de faces distinctes obtenues. Par exemple :
| Expérience | Résultats des dés | Nombre de faces distinctes |
|---|---|---|
| 1 | \((3, 3, 5, 1, 3, 5)\) | 3 |
| 2 | \((2, 2, 2, 2, 2, 2)\) | 1 |
| 3 | \((4, 4, 2, 6, 6, 2)\) | 3 ou 2 (vérifier tous les nombres) |
| … | … | … |
Astuce : Pour chaque expérience, listez les nombres sans répétition pour déterminer le nombre de valeurs différentes.
Une fois les 200 (ou plus) expériences réalisées, procédez ainsi :
Compter le nombre d’expériences ayant obtenu :
Calculer les fréquences expérimentales pour chaque résultat. Si, par exemple, vous avez obtenu 4 fois le résultat “2 faces distinctes” sur 200 expériences, la fréquence expérimentale sera :
\[ \text{Fréquence expérimentale} = \frac{4}{200} \times 100\% = 2\% \]
Comparer avec les prévisions théoriques :
| Nombre de faces distinctes | Probabilité théorique | Fréquence expérimentale (en %) |
|---|---|---|
| 1 | \(0,01\%\) | (à remplir) |
| 2 | \(2\%\) | (à remplir) |
| 3 | \(23,2\%\) | (à remplir) |
| 4 | \(50,1\%\) | (à remplir) |
| 5 | \(23,2\%\) | (à remplir) |
| 6 | \(1,5\%\) | (à remplir) |
Pour mieux comparer, vous pouvez aussi calculer le nombre d’expériences attendu pour chaque cas en multipliant la probabilité par 200. Par exemple :
Pour 1 face distincte :
\[ 200 \times 0,0001 = 0,02 \quad (\text{environ 0 fois sur 200 expériences}) \]
Pour 2 faces distinctes :
\[ 200 \times 0,02 = 4 \quad (\text{environ 4 expériences}) \]
Pour 3 faces distinctes :
\[ 200 \times 0,232 = 46,4 \quad (\text{environ 46 ou 47 expériences}) \]
Pour 4 faces distinctes :
\[ 200 \times 0,501 = 100,2 \quad (\text{environ 100 expériences}) \]
Pour 5 faces distinctes :
\[ 200 \times 0,232 = 46,4 \quad (\text{environ 46 ou 47 expériences}) \]
Pour 6 faces distinctes :
\[ 200 \times 0,015 = 3 \quad (\text{environ 3 expériences}) \]
Après avoir comparé vos fréquences expérimentales aux valeurs théoriques, vous pourrez discuter des points suivants :
Pour vérifier les prévisions des mathématiciens, il vous faut :
Ainsi, cette démarche expérimentale permet de vérifier ou de confirmer les probabilités théoriques annoncées par les mathématiciens.
Bonne expérimentation !