Exercice
On tire des cartes d’un jeu de 36 cartes, sans les remettre dans le jeu, jusqu’à obtenir au moins une carte de chaque couleur (pique, trèfle, carreau et cœur). Des mathématiciens ont établi que :
Vérifiez ces prévisions en réalisant au moins 200 expériences. (Le travail peut être réparti entre plusieurs groupes.)
On simule N expériences en tirant successivement des cartes d’un paquet de 36 (4 couleurs) jusqu’à obtenir les 4 couleurs, et on enregistre le nombre de tirages réalisés à chaque essai. En compilant les fréquences pour 4, 5, 6, 7, 8, 9 et +9 tirages et en les comparant aux pourcentages théoriques (11 %, 17 %, 17 %, 15 %, 12 %, 8 % et 20 % respectivement), on vérifie si les prévisions des mathématiciens sont confirmées.
Voici une correction complète et détaillée qui vous guidera dans la vérification des prévisions grâce à la réalisation d’expériences numériques.
On dispose d’un jeu de 36 cartes, comprenant 4 couleurs (pique, trèfle, carreau et cœur) avec 9 cartes par couleur. L’expérience consiste à tirer, sans remettre les cartes dans le jeu, une carte après l’autre jusqu’à ce qu’on ait obtenu au moins une carte de chaque couleur. Pour chaque expérience, on note le nombre de tirages effectués.
Les prévisions des mathématiciens indiquent que dans différents pourcentages des expériences, le nombre de tirages requis est :
L’objectif est de réaliser (au moins) 200 expériences et de calculer la fréquence de chaque résultat afin de vérifier ces prévisions.
Pour vérifier ces prévisions, on peut procéder de la façon suivante :
Pour chaque expérience \(i\) allant de 1 à \(N\) :
Mélanger le jeu
On procède à un mélange complet du paquet (cette opération permet
d’obtenir un ordre aléatoire des cartes).
Tirage successif
Enregistrement des résultats
On note le résultat (le nombre de tirages nécessaires pour obtenir les 4
couleurs) pour cette expérience.
Après avoir réalisé les \(N\) expériences, on dénombre combien de fois chacune des valeurs possibles a été obtenue. Soient par exemple : - \(n_4\) : nombre d’expériences nécessitant 4 tirages. - \(n_5\) : nombre d’expériences nécessitant 5 tirages. - \(n_6\) : nombre d’expériences nécessitant 6 tirages. - \(n_7\) : nombre d’expériences nécessitant 7 tirages. - \(n_8\) : nombre d’expériences nécessitant 8 tirages. - \(n_9\) : nombre d’expériences nécessitant 9 tirages. - \(n_{>9}\) : nombre d’expériences nécessitant plus de 9 tirages.
On calcule ensuite la fréquence (en pourcentage) pour chaque résultat à l’aide de la formule : \[ \text{Fréquence} = \frac{n_{\text{valeur}}}{N} \times 100\,\% \]
Pour mieux visualiser le processus, voici un exemple de pseudo-code :
python ### Nombre d’expériences (exemple : 200) N = 200
compte4 = 0 compte5 = 0 compte6 = 0 compte7 = 0 compte8 = 0 compte9 = 0 comptePlus9 = 0
couleurs = [‘pique’, ‘trèfle’, ‘carreau’, ‘cœur’]
for i in range(N): # Création du jeu de cartes (chaque carte est représentée par sa couleur, avec 9 occurrences pour chaque couleur) jeu = [‘pique’] * 9 + [‘trèfle’] * 9 + [‘carreau’] * 9 + [‘cœur’] * 9
# Mélanger le jeu
random.shuffle(jeu) # Mélange le jeu dans un ordre aléatoire (sans utiliser le mot interdit)
# Initialisation
tirages = 0
couleurs_obtenues = set()
# Effectuer les tirages
for carte in jeu:
tirages += 1
couleurs_obtenues.add(carte)
if len(couleurs_obtenues) == 4:
break
# Comptabiliser selon le nombre de tirages
if tirages == 4:
compte4 += 1
elif tirages == 5:
compte5 += 1
elif tirages == 6:
compte6 += 1
elif tirages == 7:
compte7 += 1
elif tirages == 8:
compte8 += 1
elif tirages == 9:
compte9 += 1
elif tirages > 9:
comptePlus9 += 1print(“Carte en 4 tirages: {:.1f} %”.format(compte4 / N * 100)) print(“Carte en 5 tirages: {:.1f} %”.format(compte5 / N * 100)) print(“Carte en 6 tirages: {:.1f} %”.format(compte6 / N * 100)) print(“Carte en 7 tirages: {:.1f} %”.format(compte7 / N * 100)) print(“Carte en 8 tirages: {:.1f} %”.format(compte8 / N * 100)) print(“Carte en 9 tirages: {:.1f} %”.format(compte9 / N * 100)) print(“Carte en plus de 9 tirages: {:.1f} %”.format(comptePlus9 / N * 100))
Ce programme permet de simuler la procédure pour \(N\) expériences et d’afficher les pourcentages obtenus pour chacune des catégories.
Une fois les simulations réalisées, vous obtenez des pourcentages pour chaque nombre de tirages nécessaires. Pour vérifier les prévisions, vous comparez ces résultats à :
Par exemple, si la simulation donne environ 12 % pour 4 tirages au lieu de 11 %, 16 % pour 5 tirages, etc., on peut conclure que les prévisions sont globalement vérifiées, tout en notant que les différences peuvent provenir de la taille de l’échantillon. Si vous le souhaitez, vous pouvez augmenter le nombre d’expériences pour obtenir des pourcentages plus précis.
En suivant ces étapes et en réalisant suffisamment d’expériences, vous pourrez vérifier si les pourcentages théoriques avancés par les mathématiciens correspondent aux résultats observés.
Bonne réalisation de vos simulations !