Exercice 9

Exercice

Un sac contient 3 billes rouges et 3 billes bleues. Des mathématiciens ont estimé que, lors de l’extraction de deux billes du sac de manière aléatoire, il y a : - \(20\%\) de chances que les deux billes soient bleues, - \(20\%\) de chances que les deux billes soient rouges, - \(60\%\) de chances d’obtenir une bille rouge et une bille bleue.

Vérifiez ces prévisions en réalisant au moins 150 expériences.

(On peut remplacer les billes par des boutons de même taille, par des jetons ou par des morceaux de papier ; répartissez le travail entre plusieurs groupes.)

Réponse

Les probabilités sont les suivantes : 20 % pour deux billes bleues, 20 % pour deux billes rouges et 60 % pour une bille rouge et une bille bleue. Ces résultats peuvent être vérifiés par une série d’environ 150 tirages sans remise.

Corrigé détaillé

Voici comment vérifier les prévisions proposées en analysant théoriquement l’expérience et en comparant avec des simulations.

1. Calcul théorique des probabilités

Le sac contient 3 billes rouges et 3 billes bleues, soit un total de 6 billes. Lorsque l’on extrait 2 billes sans remise, le nombre total de possibilités de tirage est donné par :

\[ \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 \]

a) Probabilité d’extraire deux billes bleues

Le nombre de manières de choisir 2 billes parmi les 3 bleues est :

\[ \binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3 \]

Ainsi, la probabilité d’extraire deux billes bleues est :

\[ P(\text{deux bleues}) = \frac{3}{15} = 0,20 \quad \text{soit } 20\% \]

b) Probabilité d’extraire deux billes rouges

De façon analogue, le nombre de manières de choisir 2 billes parmi les 3 rouges est également :

\[ \binom{3}{2} = 3 \]

La probabilité d’extraire deux billes rouges est :

\[ P(\text{deux rouges}) = \frac{3}{15} = 0,20 \quad \text{soit } 20\% \]

c) Probabilité d’extraire une bille rouge et une bille bleue

Pour obtenir une bille rouge et une bille bleue, on peut choisir : - Une bille parmi les 3 rouges, - Une bille parmi les 3 bleues.

Il y a donc :

\[ 3 \times 3 = 9 \]

façons de procéder. La probabilité d’extraire une bille rouge et une bille bleue est :

\[ P(\text{une rouge et une bleue}) = \frac{9}{15} = 0,60 \quad \text{soit } 60\% \]

2. Expérimentation pratique

Pour vérifier ces probabilités, on peut réaliser au moins 150 expériences en procédant de la manière suivante :

Préparation du matériel :
Préparez 6 éléments identiques (boutons, jetons, morceaux de papier) dont 3 sont de couleur rouge et 3 de couleur bleue.
Procédure de tirage :
- Mélangez bien les éléments dans un contenant.
- Réalisez une extraction de 2 éléments en les prenant simultanément ou l’un après l’autre sans remettre le premier élément dans le sac.
- Notez le résultat de chaque expérience en indiquant si vous avez obtenu deux éléments de même couleur ou une de chaque couleur.
Répétition :
Réalisez l’expérience au moins 150 fois. Pour une meilleure répartition du travail, chaque groupe peut réaliser un certain nombre d’expériences et partager ensuite ses résultats.
Analyse des résultats :
- Calculez le pourcentage d’expériences ayant donné deux éléments bleus.
- Calculez le pourcentage d’expériences ayant donné deux éléments rouges.
- Calculez le pourcentage d’expériences ayant donné un élément rouge et un élément bleu.
Comparez vos pourcentages expérimentaux avec les prévisions théoriques :
- 20% pour deux éléments bleus,
- 20% pour deux éléments rouges,
- 60% pour une combinaison d’un élément rouge et d’un élément bleu.

Conclusion

Les calculs théoriques montrent bien que :

\[ P(\text{deux bleues}) = 20\%, \quad P(\text{deux rouges}) = 20\%, \quad P(\text{une rouge et une bleue}) = 60\% \]

Réaliser l’expérience au moins 150 fois permettra de vérifier ces résultats expérimentaux et de constater que les pourcentages obtenus se rapprochent des valeurs théoriques calculées. Ce travail permet ainsi de confirmer les estimations initiales proposées.

Cette démarche allie théorie et pratique pour comprendre et illustrer des probabilités en situation concrète.