Alice, Bernard et Claire jouent au jeu du Dragon d’or. À la fin de la partie, Alice et Bernard disposent chacun de 4 cartes, tandis que Claire en a 6. Alice doit maintenant tirer une carte.
La probabilité d’obtenir le Dragon d’or est-elle plus élevée si elle tire une carte dans la main de Bernard plutôt que dans celle de Claire ?
Non, la probabilité d’obtenir le Dragon d’or est de 1/10, que ce soit en tirant dans la main de Bernard ou de Claire.
Nous pouvons raisonner de la façon suivante :
On sait qu’Alice, Bernard et Claire ont respectivement 4, 4 et 6 cartes. Comme Alice doit tirer une carte, on peut en déduire que le Dragon d’or (la carte recherchée) se trouve nécessairement dans l’une des mains des deux autres joueurs. En effet, si on admet qu’il n’est pas chez Alice, alors il doit se trouver parmi les \(4 + 6 = 10\) cartes présentes chez Bernard et Claire.
Si l’on suppose que le Dragon d’or est caché de façon aléatoire parmi ces 10 cartes, la probabilité qu’il se trouve dans la main de Bernard est : \[ P(\text{Dragon dans la main de Bernard}) = \frac{4}{10} \] et dans la main de Claire : \[ P(\text{Dragon dans la main de Claire}) = \frac{6}{10}. \]
Lorsqu’Alice tire une carte dans la main d’un joueur, par exemple Bernard, elle sélectionne au hasard parmi les cartes de ce joueur. Ainsi, si le Dragon se trouve dans la main de Bernard, la chance de le tirer est de \(\frac{1}{4}\) (puisque Bernard a 4 cartes). La probabilité d’obtenir le Dragon en tirant dans la main de Bernard est donc : \[ P_{\text{Bernard}} = \frac{4}{10} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}. \]
De même, si elle tire dans la main de Claire, si le Dragon se trouve là (ce qui a une probabilité de \(\frac{6}{10}\)), la chance de le tirer est de \(\frac{1}{6}\) (Claire ayant 6 cartes). La probabilité d’obtenir le Dragon en tirant dans la main de Claire est alors : \[ P_{\text{Claire}} = \frac{6}{10} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{10}. \]
Ainsi, dans les deux cas, la probabilité d’obtenir le Dragon d’or est : \[ \frac{1}{10} \,. \]
La probabilité d’obtenir le Dragon d’or est exactement la même qu’Alice tire dans la main de Bernard ou dans celle de Claire, c’est-à-dire \(\frac{1}{10}\). Par conséquent, la réponse à la question est :
Non, elle n’a pas plus de chance de l’obtenir dans la main de Bernard que dans celle de Claire.