Exercice
On lance trois dés équilibrés simultanément.
Voici une solution complète en détaillant chaque étape du raisonnement pour résoudre les trois questions.
On lance trois dés à 6 faces chacun. Le nombre total d’issues
possibles est
\[
N = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216.
\]
Sur chaque dé, il y a 3 nombres pairs (2, 4, 6) et 3 nombres impairs (1, 3, 5).
Pour que les trois dés montrent le même nombre, ce nombre peut être
n’importe lequel de 1 à 6.
- Pour chaque nombre, il existe exactement 1 issue où tous les dés
affichent ce nombre (par exemple, (1, 1, 1), (2, 2, 2), etc.).
Ainsi, le nombre d’issues favorables est
\[
N_f = 6.
\]
La probabilité est donc \[ P = \frac{N_f}{N} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}. \]
« Au moins deux dés » signifie que l’on considère les cas suivants : - Cas A : exactement deux dés montrent un nombre pair. - Cas B : exactement trois dés montrent un nombre pair.
Nous allons déterminer le nombre d’issues favorables pour chacun de ces cas.
Étape 1 : Sélectionner les deux dés qui donneront un
nombre pair.
Le nombre de façons de choisir 2 dés parmi 3 est
\[
\binom{3}{2} = 3.
\]
Étape 2 : Pour chaque dé pair, il y a 3 issues possibles
(2, 4 ou 6).
Donc le nombre d’issues pour les deux dés choisis est
\[
3 \times 3 = 3^2 = 9.
\]
Étape 3 : Pour le dé restant qui doit donner un nombre impair, il y a 3 issues possibles.
En combinant ces étapes, le nombre d’issues pour exactement deux dés
pairs est
\[
N_A = 3 \times 9 \times 3 = 81.
\]
Le nombre total d’issues favorables est la somme des issues des deux
cas :
\[
N_f = N_A + N_B = 81 + 27 = 108.
\]
La probabilité cherchée est donc
\[
P = \frac{108}{216} = \frac{1}{2}.
\]
Nous avons déjà calculé le nombre d’issues favorables pour exactement
deux dés pairs lors du Cas A.
\[
N_{exactement\ 2} = 81.
\]
La probabilité est alors
\[
P = \frac{81}{216} = \frac{3}{8}.
\]
Ces résultats ont été obtenus en comptant soigneusement les différentes issues possibles pour chaque cas et en les comparant au nombre total d’issues possibles lors du lancer des trois dés.