On considère qu’il existe une probabilité égale d’obtenir pile ou face lors d’un lancer de pièce.
Pour une séquence de trois lancers, calculez : 1. La probabilité d’obtenir trois fois pile. 2. La probabilité d’obtenir deux fois pile et une fois face (l’ordre n’étant pas pris en compte). 3. La probabilité d’obtenir, dans l’ordre, pile, pile puis face.
Réponse courte : 1. Trois fois pile : 1/8
2. Deux fois pile et une face (ordre quelconque) : 3/8
3. Ordre pile, pile, face : 1/8
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé :
On considère qu’il existe une probabilité égale d’obtenir pile ou face lors d’un lancer de pièce. Pour une séquence de trois lancers, calculez :
Lorsqu’on lance une pièce, il y a 2 issues possibles : pile ou face. La probabilité pour chacune est :
\[ P(\text{pile}) = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad P(\text{face}) = \frac{1}{2} \]
Les lancers sont indépendants, ce qui veut dire que le résultat d’un lancer n’influence pas celui des autres. Pour chaque lancer, la probabilité reste la même.
Pour une séquence de 3 lancers, le nombre total de combinaisons possibles est :
\[ 2 \times 2 \times 2 = 8 \]
Chaque combinaison a donc une probabilité de :
\[ \frac{1}{8} \quad \text{ou} \quad \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
Pour obtenir pile à chaque lancer, il faut avoir :
\[ P(\text{pile, pile, pile}) = P(\text{pile}) \times P(\text{pile}) \times P(\text{pile}) \]
En substituant :
\[ P(\text{pile, pile, pile}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
Il faut ici considérer toutes les combinaisons qui contiennent exactement deux piles et un face. Nous devons donc déterminer le nombre de façons de placer les deux piles parmi les trois lancers.
Le nombre de façons de choisir 2 positions parmi 3 se calcule avec la combinaison :
\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \, 1!} = 3 \]
Chaque combinaison (exemple : pile, pile, face ou pile, face, pile ou face, pile, pile) a une probabilité de :
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
La probabilité totale est donc :
\[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]
Ici, l’ordre est spécifié. Pour obtenir exactement pile au premier lancer, pile au deuxième et face au troisième, la probabilité est le produit des probabilités individuelles :
\[ P(\text{pile, pile, face}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]
Cette démarche permet d’appliquer les règles de multiplication pour des événements indépendants et l’utilisation des combinaisons pour prendre en compte plusieurs configurations possibles lorsque l’ordre n’est pas important.