Romain et Élise lancent chacun leur tour deux dés à six faces.
Le jeu est-il équitable ?
Le jeu n’est pas équitable : Romain a une espérance de 10/36 points, contre 2/36 pour Élise.
Nous allons déterminer si le jeu est équitable en calculant le nombre de cas favorables pour chacun et en comparant les points moyens marqués par Romain et Élise à chaque lancer.
Condition de victoire pour Romain :
La somme des deux dés doit être strictement supérieure à \(8\). Cela concerne les totaux suivants
:
\[
9,\; 10,\; 11,\; 12.
\]
Nous connaissons le nombre de combinaisons possibles pour chaque somme avec deux dés :
Total de cas favorables pour Romain :
\[
4 + 3 + 2 + 1 = 10.
\]
Comme le nombre total de résultats possibles lorsqu’on lance deux dés est \(36\) (car il y a \(6 \times 6 = 36\) cas), la probabilité que Romain marque \(1\) point est : \[ P_R = \frac{10}{36}. \]
Condition de victoire pour Élise :
La somme des deux dés doit être strictement inférieure à \(3\). Le seul total possible est : \[
2.
\]
Pour obtenir \(2\), il n’existe qu’une seule combinaison : \((1, 1)\).
Total de cas favorables pour Élise :
\[
1.
\]
La probabilité que la somme soit \(2\) est donc : \[ P_E = \frac{1}{36}. \]
Élise marque \(2\) points lorsque cette condition est respectée.
Pour Romain :
Chaque fois que la condition de Romain est satisfaite, il marque \(1\) point.
L’espérance des points pour Romain est donc : \[
E_R = 1 \times \frac{10}{36} = \frac{10}{36}.
\]
Pour Élise :
Chaque fois que la condition d’Élise est satisfaite, elle marque \(2\) points.
L’espérance des points pour Élise est : \[
E_E = 2 \times \frac{1}{36} = \frac{2}{36}.
\]
Nous comparons les espérances : \[ E_R = \frac{10}{36} \quad \text{et} \quad E_E = \frac{2}{36}. \]
On constate que \(\frac{10}{36} \neq \frac{2}{36}\). Autrement dit, Romain a beaucoup plus de chances de marquer des points que Élise.
Réponse finale :
Le jeu n’est pas équitable.