Question : Soit quatre cartes portant les lettres \(R\), \(O\), \(S\) et \(E\) placées dans un chapeau.
Les cartes sont tirées une par une et disposées devant vous, de gauche à droite, dans l’ordre du tirage.
Quelle est la probabilité d’obtenir un mot de quatre lettres reconnu dans la langue française ?
La probabilité d’obtenir un mot reconnu (rose ou oser) est de 1/12.
Nous souhaitons connaître la probabilité d’obtenir un mot reconnu en français en tirant successivement quatre cartes portant les lettres \(R\), \(O\), \(S\) et \(E\) et en les disposant dans l’ordre du tirage.
Voici les étapes de la résolution :
Les quatre cartes sont toutes différentes et l’ordre dans lequel elles sont tirées compte. Le nombre total de permutations (arrangements) de 4 éléments est donné par la factorielle de 4 :
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Ainsi, il y a 24 arrangements possibles.
Parmi ces 24 arrangements, il faut identifier ceux qui forment un mot de quatre lettres reconnu dans la langue française.
Les deux mots les plus connus construits avec ces lettres sont :
Ces deux mots sont couramment utilisés et reconnus en français.
Remarque : Selon les dictionnaires, ce sont les deux mots principaux issus de ces lettres. (Il peut exister des formes très rares ou d’autres utilisations, mais dans le cadre d’un exercice de niveau collège, on considère ici “rose” et “oser”.)
Le nombre de cas favorables (mots reconnus) est donc \(2\) et le nombre total de cas possibles est \(24\).
La probabilité \(P\) d’obtenir un mot reconnu est :
\[ P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \]
La probabilité d’obtenir, par tirage aléatoire des cartes, un mot de quatre lettres reconnu dans la langue française est donc :
\[ \boxed{\frac{1}{12}} \]
Cette méthode permet de raisonner en deux étapes : d’abord en déterminant toutes les issues possibles et ensuite en comptant celles qui répondent au critère demandé.