latex Trois joueurs \(A\), \(B\) et \(C\) lancent à tour de rôle deux dés. Les points sont attribués comme suit :
Le premier joueur à atteindre 18 points remporte la partie.
Le jeu est-il équitable ?
Le jeu n’est pas équitable, car le joueur C a environ 66,67 % de chances de marquer, tandis que les joueurs A et B n’ont que 16,67 % chacun.
Nous allons analyser le jeu en détail pour décider s’il est équitable ou non pour les trois joueurs.
Rappel de la règle du jeu :
Nombre total de résultats possibles :
Lorsqu’on lance deux dés, chaque dé peut montrer un nombre de 1 à 6. Ainsi, il y a :
\[ 6 \times 6 = 36 \quad \text{(issues possibles)} \]
Événement pour A : Les deux dés montrent le même nombre.
Les combinaisons possibles sont :
\[ (1,1),\,(2,2),\,(3,3),\,(4,4),\,(5,5),\,(6,6) \]
Il y a donc 6 issues favorables.
La probabilité que A marque un point est :
\[ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16,67\% \]
Événement pour B : La somme des deux dés est égale à 7.
Les combinaisons qui donnent 7 sont :
\[ (1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1) \]
Il y a donc également 6 issues favorables.
Ainsi, la probabilité que B marque un point est :
\[ P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 16,67\% \]
Événement pour C : Tout autre résultat.
Les issues restantes ne conduisant ni au même nombre sur les dés ni à une somme de 7 sont :
\[ \text{Nombre total d’issues} - \text{issues pour A et B} = 36 - (6+6) = 24 \]
La probabilité que C marque un point est donc :
\[ P(C) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \approx 66,67\% \]
Pour qu’un jeu soit jugé équitable, chaque joueur devrait avoir la même probabilité de remporter des points lors de chaque tour. Dans notre situation :
On remarque que le joueur C a une probabilité de marquer un point qui est nettement supérieure à celle des joueurs A et B. En conséquence, sur une longue série de lancers, le joueur C accumulera des points beaucoup plus rapidement que les deux autres joueurs, qui disposent d’options beaucoup plus limitées pour marquer.
Le jeu n’est pas équitable, car les joueurs A et B ont chacun approximativement 16,67 % de chances de marquer un point lors d’un lancer, tandis que le joueur C a environ 66,67 % de chances de marquer un point. Cette répartition des probabilités avant favorise le joueur C dans le déroulement de la partie.
\[ \boxed{\text{Le jeu n'est pas équitable.}} \]