Exercice 2

Considérons un jeu de cartes composé de 40 cartes réparties en 4 couleurs : trèfles, cœurs, carreaux et piques. Chaque couleur comporte 10 cartes numérotées de 1 à 10. Une carte est tirée.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir le \(8\) de trèfles ?

2. Quelle est la probabilité d’obtenir un \(5\) ?

3. Quelle est la probabilité d’obtenir un \(2\) rouge ?

4. Combien de cartes faut-il tirer, au minimum, pour être certain d’obtenir un \(10\) ?

Réponse

1. 1/40
   
2. 1/10
   
3. 1/20
   
4. 37 cartes minimum

Corrigé détaillé

Nous avons un jeu de 40 cartes comportant 4 couleurs (trèfles, cœurs, carreaux, piques) et 10 cartes numérotées de 1 à 10 dans chaque couleur. Nous allons analyser chacune des questions.

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a) Probabilité d’obtenir le \(8\) de trèfles

• Étape 1 : Déterminer le nombre total de cartes.
  Le jeu contient \(40\) cartes.

• Étape 2 : Déterminer le nombre de cas favorables.
  Le \(8\) de trèfles est une carte unique dans le jeu.
  Ainsi, il y a \(1\) cas favorable.

• Étape 3 : Calculer la probabilité.
  La probabilité est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas possibles.
  \[ P(\text{8 de trèfles}) = \frac{1}{40} \]

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b) Probabilité d’obtenir un \(5\)

• Étape 1 : Déterminer le nombre total de cartes.
  Toujours \(40\) cartes dans le jeu.

• Étape 2 : Identifier le nombre de cartes portant le numéro \(5\).
  Chaque couleur possède un \(5\). Il y a donc \(4\) cartes \(5\) (une dans chacune des 4 couleurs).

• Étape 3 : Calculer la probabilité.
  \[ P(5) = \frac{4}{40} = \frac{1}{10} \]

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c) Probabilité d’obtenir un \(2\) rouge

• Étape 1 : Déterminer le nombre total de cartes.
  Le jeu contient \(40\) cartes.

• Étape 2 : Identifier quelles sont les couleurs rouges.
  Les cartes rouges sont celles des et des .

• Étape 3 : Compter le nombre de cartes rouge portant le numéro \(2\).
  Dans chaque couleur rouge, il y a un \(2\).
  Donc, le nombre total de \(2\) rouges est \(2\).

• Étape 4 : Calculer la probabilité.
  \[ P(2\, \text{rouge}) = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} \]

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d) Nombre minimum de cartes à tirer pour être certain d’obtenir un \(10\)

• Étape 1 : Déterminer le nombre de cartes portant le numéro \(10\).
  Chaque couleur possède un \(10\), donc il y a \(4\) cartes \(10\).

• Étape 2 : Utiliser une approche par le pire scénario.
  Dans le pire des cas, on tire d’abord toutes les cartes qui ne sont pas des \(10\).
  Le nombre de cartes qui ne sont pas des \(10\) est : \[ 40 - 4 = 36 \]

• Étape 3 : Déduire le nombre minimum de tirages.
  Si l’on tire \(36\) cartes, il est possible que ces cartes soient toutes différentes de \(10\).
  Le prochain tirage, soit le \(37^\text{ème}\) tirage, garantira l’obtention d’au moins un \(10\).
  Ainsi, il faut tirer au minimum : \[ 36 + 1 = 37 \text{ cartes} \]

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Conclusion

• 1. La probabilité d’obtenir le \(8\) de trèfles est : \(\frac{1}{40}\).
• 2. La probabilité d’obtenir un \(5\) est : \(\frac{1}{10}\).
• 3. La probabilité d’obtenir un \(2\) rouge est : \(\frac{1}{20}\).
• 4. Il faut tirer au minimum \(37\) cartes pour être certain d’obtenir un \(10\).