Question : Soit \(C\) un polygone convexe comportant moins de dix côtés, où chaque côté a une longueur soit de \(2\) unités, soit de \(3\) unités. Déterminez le nombre de polygones \(C\) pouvant être ainsi construits.
La réponse finale est 118 polygones.
Nous allons montrer pas à pas comment on peut raisonner pour compter, à conjugaison près (c’est-à-dire en considérant deux polygones identiques si l’on peut se rendre de l’un à l’autre par rotation ou symétrie), le nombre de polygones convexes \(C\) ayant un nombre de côtés \(n\) compris entre \(3\) et \(9\) (inclus), et dont chaque côté est de longueur \(2\) ou \(3\) unités.
Le problème se ramène à “compter des colliers” (aussi appelés « necklaces ») constitués de \(n\) perles de deux couleurs (la première couleur représente un côté de longueur \(2\) et la deuxième un côté de longueur \(3\)), deux colliers étant considérés identiques s’ils se transforment l’un dans l’autre par une rotation ou une réflexion. Nous allons utiliser une formule « toute faite » qui donne, pour un nombre de positions \(n\) et deux couleurs, le nombre \(a(n)\) de necklaces (comptés modulo le groupe diédral).
On distingue deux cas selon que \(n\) est impair ou pair.
Pour une suite circulaire de \(n\) éléments colorés avec \(2\) couleurs, le nombre \(a(n)\) de bracelets (c’est-à-dire en tenant compte à la fois des rotations et des renversements) s’exprime par :
Si \(n\) est impair :
\[ a(n) = \frac{1}{2n} \left( \sum_{d\,|\,n} \varphi(d)\, 2^{\frac{n}{d}} + n\,2^{\frac{n+1}{2}} \right) \]
Si \(n\) est pair :
\[ a(n) = \frac{1}{2n} \left( \sum_{d\,|\,n} \varphi(d)\, 2^{\frac{n}{d}} + \frac{n}{2}\, \left(2^{\frac{n}{2}+1}\right) \right) \]
Ici, \(\varphi\) désigne la fonction indicatrice d’Euler et la somme se fait sur tous les diviseurs \(d\) de \(n\).
Nous allons calculer \(a(n)\) pour chaque \(n\) compris entre \(3\) et \(9\).
Les diviseurs de \(3\) sont
\(1\) et \(3\).
On a \(\varphi(1)=1\) et \(\varphi(3)=2\).
La somme est : \[ S(3) = \varphi(1) \,2^3 + \varphi(3) \,2^{3/3} = 1\cdot 8 + 2\cdot 2 = 8 + 4 = 12. \]
Comme \(\frac{n+1}{2} = \frac{4}{2}=2\), on a \(2^2=4\).
La formule donne : \[ a(3)=\frac{1}{2\cdot 3}\Big(12 + 3\cdot 4\Big) =\frac{1}{6}\Big(12+12\Big) =\frac{24}{6} = 4. \]
Les diviseurs de \(4\) sont \(1,2,4\) avec \(\varphi(1)=1\), \(\varphi(2)=1\) et \(\varphi(4)=2\).
La somme est : \[ S(4) = 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^{4/2} + 2\cdot 2^{4/4} = 16 + 2^2 + 2\cdot 2 = 16 + 4 + 4 = 24. \]
Pour le second terme, \(\frac{n}{2}=2\) et \(\frac{n}{2}+1=3\) donc \(2^3=8\) et le terme vaut \(2\cdot 8=16\).
La formule donne : \[ a(4)= \frac{1}{2\cdot 4}\Big( 24 + 16\Big) =\frac{1}{8}\cdot 40 = 5. \]
Les diviseurs de \(5\) sont \(1\) et \(5\) avec \(\varphi(1)=1\) et \(\varphi(5)=4\).
La somme est : \[ S(5) = 1\cdot 2^5 + 4\cdot 2^{5/5} = 32 + 4\cdot 2 = 32+8=40. \]
Ici, \(\frac{n+1}{2} = 3\) donc \(2^3=8\).
Ainsi, \[ a(5)=\frac{1}{2\cdot 5}\Big(40+5\cdot8\Big) =\frac{1}{10}\Big(40+40\Big) =\frac{80}{10}=8. \]
Les diviseurs de \(6\) sont
\(1,2,3,6\).
On a \(\varphi(1)=1\), \(\varphi(2)=1\), \(\varphi(3)=2\) et \(\varphi(6)=2\).
La somme est : \[ S(6)= 1\cdot 2^6 + 1\cdot 2^{6/2} + 2\cdot 2^{6/3} + 2\cdot 2^{6/6} = 64 + 2^3 + 2\cdot 2^2 + 2\cdot 2. \] Calculons : \[ 64 + 8 + 2\cdot 4 + 4 = 64 + 8 + 8 + 4 = 84. \]
Pour le second terme, \(\frac{n}{2}=3\) et \(\frac{n}{2}+1=4\) donc \(2^4=16\). Le terme vaut \(3\cdot 16 = 48\).
Alors, \[ a(6)= \frac{1}{2\cdot 6}\Big(84 + 48\Big) =\frac{1}{12}\cdot 132 = 11. \]
Les diviseurs de \(7\) sont \(1\) et \(7\) avec \(\varphi(1)=1\) et \(\varphi(7)=6\).
La somme est : \[ S(7) = 1\cdot 2^7 + 6\cdot 2^{7/7} = 128 + 6\cdot 2 = 128+12 = 140. \]
Ici, \(\frac{n+1}{2} = \frac{8}{2}=4\) et \(2^4=16\).
Ainsi, \[ a(7)= \frac{1}{2\cdot 7}\Big(140 + 7\cdot 16\Big) =\frac{1}{14}\Big(140+112\Big) =\frac{252}{14}=18. \]
Les diviseurs de \(8\) sont \(1,2,4,8\) avec \(\varphi(1)=1\), \(\varphi(2)=1\), \(\varphi(4)=2\) et \(\varphi(8)=4\).
La somme est : \[ S(8)= 1\cdot 2^8 + 1\cdot 2^{8/2} + 2\cdot 2^{8/4} + 4\cdot 2^{8/8} = 256 + 2^4 + 2\cdot 2^2 + 4\cdot 2. \] Cela donne : \[ 256 + 16 + 2\cdot 4 + 8 = 256 + 16 + 8 + 8 = 288. \]
Pour le second terme, \(\frac{n}{2}=4\) et \(\frac{n}{2}+1=5\) donc \(2^5=32\). Le terme vaut : \(4\cdot 32 = 128\).
On obtient : \[ a(8)= \frac{1}{2\cdot 8}\Big(288+128\Big) =\frac{1}{16}\cdot 416 =26. \]
Les diviseurs de \(9\) sont \(1,3,9\) avec \(\varphi(1)=1\), \(\varphi(3)=2\) et \(\varphi(9)=6\).
La somme est : \[ S(9)= 1\cdot 2^9 + 2\cdot 2^{9/3} + 6\cdot 2^{9/9} = 512 + 2\cdot 2^3 + 6\cdot 2. \] Or, \(2^3=8\) et donc : \[ 512 + 2\cdot 8 + 12 = 512 + 16 + 12 = 540. \]
Ici, \(\frac{n+1}{2} = \frac{10}{2}=5\) et \(2^5=32\).
Ainsi, \[ a(9)= \frac{1}{2\cdot 9}\Big(540 + 9\cdot 32\Big) =\frac{1}{18}\Big(540+288\Big) =\frac{828}{18}=46. \]
Pour obtenir le nombre total de polygones possibles, on additionne les valeurs obtenues pour chaque \(n\) :
\[ \begin{array}{rcl} n=3: & 4 \\ n=4: & 5 \\ n=5: & 8 \\ n=6: & 11 \\ n=7: & 18 \\ n=8: & 26 \\ n=9: & 46 \\ \hline \text{Total} &=& 4 + 5 + 8 + 11 + 18 + 26 + 46 = 118. \end{array} \]
Le nombre de polygones convexes à moins de dix côtés et dont chaque côté est de longueur \(2\) ou \(3\) unités est donc 118.
Cette démarche consiste à modéliser le problème en comptant le nombre de bracelets binaires (colliers invariants par rotation et symétrie) pour chaque nombre de côtés autorisé, puis en faisant la somme sur \(n=3\) jusqu’à \(n=9\).