Exercice 23

Calculer :

1. \[ (-4+3)^4 \cdot (-2) + (-1)^2 \cdot (-5) - (-3)^2 + (-4) \cdot (-5)^2 \]

2. \[ -4 + (+3)^4 \cdot \Big[ (-2) + (-1)^2 \Big] \cdot (-5) - \Big[ (-3)^2 + (-4) \Big] \cdot (-5)^2 \]

3. \[ (+2)^6 - \Big[(-2) \cdot (-3)\Big]^2 + (-2)^2 \cdot (-3)^2 \]

4. \[ \frac{(-2)^5 \cdot (+3-5)^2}{(-2)^4} + (-1)^5 \cdot (-4) \]

Réponse

1. -116
   
2. 276
   
3. 64
   
4. -4

Corrigé détaillé

Voici les corrections détaillées pour chaque question.

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1) Calcul de

\[ (-4+3)^4 \cdot (-2) + (-1)^2 \cdot (-5) - (-3)^2 + (-4) \cdot (-5)^2 \]

Étape 1 : Calculer les parenthèses

• Calcul de \((-4+3)\) :

  \[ -4 + 3 = -1 \]

  Ainsi, l’expression devient :

  \[ (-1)^4 \cdot (-2) + (-1)^2 \cdot (-5) - (-3)^2 + (-4) \cdot (-5)^2 \]

Étape 2 : Élever à la puissance

• Pour \((-1)^4\) :

  \[ (-1)^4 = 1 \quad \text{(puisque le carré d'un nombre négatif est positif)} \]

• Pour \((-1)^2\) :

  \[ (-1)^2 = 1 \]

• Pour \((-3)^2\) :

  \[ (-3)^2 = 9 \]

• Pour \((-5)^2\) :

  \[ (-5)^2 = 25 \]

Étape 3 : Remplacer dans l’expression

L’expression se transforme en :

\[ 1 \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) - 9 + (-4) \cdot 25 \]

Étape 4 : Effectuer les multiplications et additions

• \(1 \cdot (-2) = -2\)
• \(1 \cdot (-5) = -5\)
• \((-4) \cdot 25 = -100\)

On a donc :

\[ -2 + (-5) - 9 - 100 \]

Additionnons les termes :

\[ -2 - 5 = -7, \quad -7 - 9 = -16, \quad -16 - 100 = -116. \]

Réponse 1

\[ \boxed{-116} \]

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2) Calcul de

\[ -4 + (+3)^4 \cdot \Big[ (-2) + (-1)^2 \Big] \cdot (-5) - \Big[ (-3)^2 + (-4) \Big] \cdot (-5)^2 \]

Étape 1 : Calculer les puissances et simplifier les parenthèses

• Calcul de \((+3)^4\) :

  \[ 3^4 = 81 \]

• Dans le premier crochet :

  \[ (-2) + (-1)^2 \quad \text{et} \quad (-1)^2 = 1, \quad \text{donc} \quad -2 + 1 = -1. \]

• Dans le second crochet :

  \[ (-3)^2 + (-4) \quad \text{et} \quad (-3)^2 = 9, \quad \text{donc} \quad 9 + (-4) = 5. \]

• Calcul de \((-5)^2\) :

  \[ (-5)^2 = 25. \]

Étape 2 : Remplacer les calculs dans l’expression

L’expression devient :

\[ -4 + 81 \cdot (-1) \cdot (-5) - 5 \cdot 25. \]

Étape 3 : Effectuer les multiplications

• \(81 \cdot (-1) = -81\)
• \(-81 \cdot (-5) = 405\)
• \(5 \cdot 25 = 125\)

L’expression se réduit donc à :

\[ -4 + 405 - 125. \]

Étape 4 : Effectuer les additions et soustractions

• \(405 - 125 = 280\)
• \(-4 + 280 = 276\)

Réponse 2

\[ \boxed{276} \]

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3) Calcul de

\[ (+2)^6 - \Big[(-2) \cdot (-3)\Big]^2 + (-2)^2 \cdot (-3)^2 \]

Étape 1 : Calculer les puissances et produits

• Calcul de \((+2)^6\) :

  \[ 2^6 = 64. \]

• Calcul du produit \((-2) \cdot (-3)\) :

  \[ (-2) \cdot (-3) = 6. \]

  Ensuite, élever au carré :

  \[ 6^2 = 36. \]

• Calcul de \((-2)^2\) et \((-3)^2\) :

  \[ (-2)^2 = 4 \quad \text{et} \quad (-3)^2 = 9. \]

  Leur produit :

  \[ 4 \cdot 9 = 36. \]

Étape 2 : Remplacer dans l’expression

L’expression se devient :

\[ 64 - 36 + 36. \]

Étape 3 : Effectuer les opérations

\[ 64 - 36 = 28, \quad 28 + 36 = 64. \]

Réponse 3

\[ \boxed{64} \]

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4) Calcul de

\[ \frac{(-2)^5 \cdot (+3-5)^2}{(-2)^4} + (-1)^5 \cdot (-4) \]

Étape 1 : Calculer les puissances et expressions dans les parenthèses

• Calcul de \((-2)^5\) :

  \[ (-2)^5 = -32. \]

• Calcul de \((+3-5)\) :

  \[ 3 - 5 = -2. \]

  Ensuite, élever au carré :

  \[ (-2)^2 = 4. \]

• Calcul du dénominateur \((-2)^4\) :

  \[ (-2)^4 = 16. \]

• Calcul de \((-1)^5\) :

  \[ (-1)^5 = -1. \]

Étape 2 : Remplacer dans l’expression

La partie fractionnaire devient :

\[ \frac{-32 \cdot 4}{16}. \]

Le second terme devient :

\[ -1 \cdot (-4). \]

Étape 3 : Effectuer les multiplications et divisions

• Dans la fraction : \[ -32 \cdot 4 = -128, \quad \frac{-128}{16} = -8. \]

• Pour le second terme : \[ -1 \cdot (-4) = 4. \]

Étape 4 : Additionner les résultats

\[ -8 + 4 = -4. \]

Réponse 4

\[ \boxed{-4} \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(-116\)
   
2. \(276\)
   
3. \(64\)
   
4. \(-4\)