Exercice 22

Calculer les expressions suivantes :

1. \[ (-3)^2 \cdot (+2,5) - \frac{-6,3}{-10} \]

2. \[ (+1,2)^2 \cdot (-0,1) + (-0,1)^2 \cdot (+1000) \]

3. \[ (-2,5) \cdot (+2)^3 + (-3,2) \cdot (-10) \]

4. \[ (+0,3)^2 \cdot (-0,2)^3 - \frac{(-0,9)^2}{(+0,3)^3} \]

Réponse

Les réponses sont : 1) 21,87
2) 9,856
3) 12
4) -30,00072 (approximativement).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

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1) Calcul de

\[ (-3)^2 \cdot (+2{,}5) - \frac{-6{,}3}{-10} \]

Étape 1 : Calculer \((-3)^2\)
On élève \(-3\) au carré :
\[ (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9. \]

Étape 2 : Multiplier par \(+2{,}5\)
On calcule :
\[ 9 \cdot 2{,}5 = 22{,}5. \]

Étape 3 : Calculer la fraction \(\frac{-6{,}3}{-10}\)
Ici, le quotient de deux nombres négatifs donne un nombre positif :
\[ \frac{-6{,}3}{-10} = \frac{6{,}3}{10} = 0{,}63. \]

Étape 4 : Effectuer la soustraction
On a donc :
\[ 22{,}5 - 0{,}63 = 21{,}87. \]

Réponse 1 :
\[ 21{,}87. \]

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2) Calcul de

\[ (+1{,}2)^2 \cdot (-0{,}1) + (-0{,}1)^2 \cdot (+1000) \]

Étape 1 : Calculer \((+1{,}2)^2\)
\[ (1{,}2)^2 = 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44. \]

Étape 2 : Multiplier par \(-0{,}1\)
\[ 1{,}44 \cdot (-0{,}1) = -0{,}144. \]

Étape 3 : Calculer \((-0{,}1)^2\)
L’élévation au carré d’un nombre négatif donne un nombre positif :
\[ (-0{,}1)^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01. \]

Étape 4 : Multiplier par \(+1000\)
\[ 0{,}01 \cdot 1000 = 10. \]

Étape 5 : Effectuer l’addition
\[ -0{,}144 + 10 = 9{,}856. \]

Réponse 2 :
\[ 9{,}856. \]

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3) Calcul de

\[ (-2{,}5) \cdot (+2)^3 + (-3{,}2) \cdot (-10) \]

Étape 1 : Calculer \(+2^3\)
\[ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \]

Étape 2 : Multiplier par \(-2{,}5\)
\[ -2{,}5 \cdot 8 = -20. \]

Étape 3 : Calculer \(-3{,}2 \cdot (-10)\)
Le produit de deux nombres négatifs est positif :
\[ -3{,}2 \cdot (-10) = 32. \]

Étape 4 : Additionner les deux résultats
\[ -20 + 32 = 12. \]

Réponse 3 :
\[ 12. \]

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4) Calcul de

\[ (+0{,}3)^2 \cdot (-0{,}2)^3 - \frac{(-0{,}9)^2}{(+0{,}3)^3} \]

Étape 1 : Calculer \((+0{,}3)^2\)
\[ (0{,}3)^2 = 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09. \]

Étape 2 : Calculer \((-0{,}2)^3\)
Pour un nombre négatif élevé à une puissance impaire, le résultat est négatif :
\[ (-0{,}2)^3 = -0{,}2 \times -0{,}2 \times -0{,}2 = -0{,}008. \]

Étape 3 : Multiplication du premier terme
\[ 0{,}09 \cdot (-0{,}008) = -0{,}00072. \]

Étape 4 : Calculer \((-0{,}9)^2\)
Élever au carré donne :
\[ (-0{,}9)^2 = 0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81. \]

Étape 5 : Calculer \((+0{,}3)^3\)
\[ (0{,}3)^3 = 0{,}3 \times 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}027. \]

Étape 6 : Calcul de la fraction
\[ \frac{(-0{,}9)^2}{(+0{,}3)^3} = \frac{0{,}81}{0{,}027} = 30. \]

Étape 7 : Soustraire la fraction du premier terme
\[ -0{,}00072 - 30 = -30{,}00072. \]

Réponse 4 :
\[ -30{,}00072 \quad (\text{environ}). \]

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Résumé des réponses

1. \(\displaystyle 21{,}87\)
   
2. \(\displaystyle 9{,}856\)
   
3. \(\displaystyle 12\)
   
4. \(\displaystyle -30{,}00072 \quad (\text{environ})\)

Ces étapes détaillées permettent de suivre l’ensemble du raisonnement afin d’obtenir les réponses finales.