Exercice 19

Exercice

Calculer les expressions suivantes :

1. \(\sqrt{4} \cdot 3^{3} + 2^{3} \cdot \left(\sqrt{25} - 2^{2}\right) \cdot \sqrt{1}\)

2. \((3+4)^{2} - \sqrt{50-5^{2}} \cdot 7\)

3. \(\sqrt{2^{3}+1} \cdot 5^{2} - 2^{4} \cdot \sqrt{5^{2}-3^{2}}\)

4. \((6-2)^{2} \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot \sqrt{13^{2}-5^{2}}\)

5. \(\sqrt[3]{125} \cdot \left(2^{4}-3^{2}\right) - \frac{4^{3}}{32}\)

6. \(\frac{\left(2 \cdot 3 + 2^{2}\right)^{2}}{1^{5}} - \sqrt{81}\)

7. \(\left(3^{2} - \sqrt{16}\right)^{3} - 5 \cdot \left(6 + \sqrt{4}\right)\)

Réponse

Résumé des réponses : 62, 14, 11, 84, 33, 91 et 85.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions :

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1) Expression

\[ \sqrt{4} \cdot 3^{3} + 2^{3} \cdot \left(\sqrt{25} - 2^{2}\right) \cdot \sqrt{1} \]

Étapes :

1. Calculer \(\sqrt{4}\) et \(3^3\) :

   • \(\sqrt{4} = 2\)
   • \(3^3 = 27\)
   • Le produit est : \(2 \times 27 = 54\).

2. Calculer \(2^3\), \(\sqrt{25}\) et \(2^2\) :

   • \(2^3 = 8\)
   • \(\sqrt{25} = 5\)
   • \(2^2 = 4\)
   • La différence dans la parenthèse est : \(5 - 4 = 1\).

3. Calculer \(\sqrt{1}\) :

   • \(\sqrt{1} = 1\).

4. Le second terme devient : \(8 \cdot 1 \cdot 1 = 8\).

5. Additionner les deux résultats : \[ 54 + 8 = 62 \]

Réponse : \(\boxed{62}\)

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2) Expression

\[ (3+4)^{2} - \sqrt{50-5^{2}} \cdot 7 \]

Étapes :

1. Calculer \((3+4)^{2}\) :

   • \(3+4 = 7\)
   • \(7^2 = 49\).

2. Calculer l’expression sous la racine :

   • \(5^2 = 25\)
   • \(50 - 25 = 25\)
   • \(\sqrt{25} = 5\).

3. Multiplier par 7 : \[ 5 \cdot 7 = 35 \]

4. Soustraire : \[ 49 - 35 = 14 \]

Réponse : \(\boxed{14}\)

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3) Expression

\[ \sqrt{2^{3}+1} \cdot 5^{2} - 2^{4} \cdot \sqrt{5^{2}-3^{2}} \]

Étapes :

1. Calculer le premier terme :
   • \(2^3 = 8\) donc \(8+1 = 9\)
   • \(\sqrt{9} = 3\)
   • \(5^{2} = 25\)
   • Le produit est alors \(3 \times 25 = 75\).
2. Calculer le second terme :
   • \(2^{4} = 16\)
   • \(5^{2} = 25\) et \(3^{2} = 9\), donc \(25 - 9 = 16\)
   • \(\sqrt{16} = 4\)
   • Le produit est \(16 \times 4 = 64\).
3. Soustraire les deux résultats : \[ 75 - 64 = 11 \]

Réponse : \(\boxed{11}\)

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4) Expression

\[ (6-2)^{2} \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot \sqrt{13^{2}-5^{2}} \]

Étapes :

1. Calculer le premier terme :
   • \(6-2 = 4\)
   • \(4^{2} = 16\)
   • \(\sqrt{9} = 3\)
   • Donc, \(16 \times 3 = 48\).
2. Calculer le second terme :
   • \(13^{2} = 169\) et \(5^{2} = 25\), donc \(169 - 25 = 144\)
   • \(\sqrt{144} = 12\)
   • Multiplier par 3 : \(3 \times 12 = 36\).
3. Additionner les deux résultats : \[ 48 + 36 = 84 \]

Réponse : \(\boxed{84}\)

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5) Expression

\[ \sqrt[3]{125} \cdot \left(2^{4}-3^{2}\right) - \frac{4^{3}}{32} \]

Étapes :

1. Calculer \(\sqrt[3]{125}\) :
   • \(125 = 5^3\) donc \(\sqrt[3]{125} = 5\).
2. Calculer \(2^{4}\) et \(3^{2}\) :
   • \(2^{4} = 16\)
   • \(3^{2} = 9\)
   • La différence : \(16 - 9 = 7\)
   • Le produit est : \(5 \times 7 = 35\).
3. Calculer \(\frac{4^{3}}{32}\) :
   • \(4^3 = 64\)
   • \(\frac{64}{32} = 2\).
4. Soustraire : \[ 35 - 2 = 33 \]

Réponse : \(\boxed{33}\)

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6) Expression

\[ \frac{\left(2 \cdot 3 + 2^{2}\right)^{2}}{1^{5}} - \sqrt{81} \]

Étapes :

1. Calculer l’expression dans la parenthèse :
   • \(2 \cdot 3 = 6\)
   • \(2^{2} = 4\)
   • \(6 + 4 = 10\)
   • Au carré : \(10^2 = 100\).
2. Calculer le dénominateur :
   • \(1^5 = 1\)
   • La fraction reste donc \(100\).
3. Calculer \(\sqrt{81}\) :
   • \(\sqrt{81} = 9\).
4. Soustraire : \[ 100 - 9 = 91 \]

Réponse : \(\boxed{91}\)

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7) Expression

\[ \left(3^{2} - \sqrt{16}\right)^{3} - 5 \cdot \left(6 + \sqrt{4}\right) \]

Étapes :

1. Calculer le premier terme (entre parenthèses puis mettre au cube) :
   • \(3^{2} = 9\)
   • \(\sqrt{16} = 4\)
   • \(9 - 4 = 5\)
   • Au cube : \(5^3 = 125\).
2. Calculer le second terme :
   • \(\sqrt{4} = 2\)
   • \(6 + 2 = 8\)
   • Multiplication par 5 : \(5 \times 8 = 40\).
3. Soustraire : \[ 125 - 40 = 85 \]

Réponse : \(\boxed{85}\)

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Chaque étape a été expliquée afin de comprendre le cheminement pour obtenir les réponses finales des expressions.