Exercice 18

Calculer :

1. \(\left(3^2 - \sqrt{16}\right)^3 - 5 \cdot \left(6 + \sqrt{4}\right)\)

2. \(\sqrt{6^2 - 5 \cdot 7} + \frac{12^2 - 11 \cdot 2^2}{10}\)

3. \(\frac{\sqrt{3^2} + \sqrt{4^2}}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\)

4. \(9 \cdot \left(6^2 - 5^2\right) + \frac{6 \cdot \sqrt{16}}{2^2}\)

5. \(\frac{(3+4)^2}{3^2+4^2}\)

Réponse

Réponses : 1) 85, 2) 11, 3) 7/5, 4) 105, 5) 49/25.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque calcul :

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1) Calcul de \(\left(3^2 - \sqrt{16}\right)^3 - 5 \cdot \left(6 + \sqrt{4}\right)\)

1. Calcul de \(3^2\) et \(\sqrt{16}\) :
   \[ 3^2 = 9 \quad \text{et} \quad \sqrt{16} = 4 \]

2. Soustraction dans la parenthèse :
   \[ 9 - 4 = 5 \]

3. Élévation au cube :
   \[ 5^3 = 125 \]

4. Calcul de \(\sqrt{4}\) dans la deuxième parenthèse :
   \[ \sqrt{4} = 2 \]

5. Addition et multiplication :
   \[ 6 + 2 = 8 \quad \text{puis} \quad 5 \cdot 8 = 40 \]

6. Soustraction finale :
   \[ 125 - 40 = 85 \]

Réponse 1 : \(85\)

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2) Calcul de \(\sqrt{6^2 - 5 \cdot 7} + \frac{12^2 - 11 \cdot 2^2}{10}\)

1. Dans le radical :

   • Calcul de \(6^2\) :
     \[ 6^2 = 36 \]
   • Calcul de \(5 \cdot 7\) :
     \[ 5 \cdot 7 = 35 \]
   • Soustraction sous la racine :
     \[ 36 - 35 = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = 1 \]

2. Calcul du numérateur de la fraction :

   • Calcul de \(12^2\) :
     \[ 12^2 = 144 \]
   • Calcul de \(2^2\) :
     \[ 2^2 = 4 \quad \text{donc} \quad 11 \cdot 4 = 44 \]
   • Soustraction :
     \[ 144 - 44 = 100 \]

3. Division par 10 :
   \[ \frac{100}{10} = 10 \]

4. Addition des deux termes :
   \[ 1 + 10 = 11 \]

Réponse 2 : \(11\)

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3) Calcul de \(\frac{\sqrt{3^2} + \sqrt{4^2}}{\sqrt{3^2+4^2}}\)

1. Calcul des radicaux du numérateur :
   \[ \sqrt{3^2} = 3 \quad \text{et} \quad \sqrt{4^2} = 4 \] Addition : \[ 3 + 4 = 7 \]

2. Calcul du dénominateur :

   • Addition sous la racine :
     \[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
   • Racine carrée :
     \[ \sqrt{25} = 5 \]

3. Fraction finale :
   \[ \frac{7}{5} \]

Réponse 3 : \(\frac{7}{5}\)

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4) Calcul de \(9 \cdot \left(6^2 - 5^2\right) + \frac{6 \cdot \sqrt{16}}{2^2}\)

1. Calcul dans la première parenthèse :
   • \(6^2 = 36\)
     
   • \(5^2 = 25\)
     
   • Soustraction : \[ 36 - 25 = 11 \]
   • Multiplication par 9 : \[ 9 \cdot 11 = 99 \]
2. Calcul de la deuxième partie :
   • Racine :
     \[ \sqrt{16} = 4 \]
   • Multiplication dans le numérateur : \[ 6 \cdot 4 = 24 \]
   • Calcul du dénominateur : \[ 2^2 = 4 \]
   • Division : \[ \frac{24}{4} = 6 \]
3. Addition des deux parties :
   \[ 99 + 6 = 105 \]

Réponse 4 : \(105\)

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5) Calcul de \(\frac{(3+4)^2}{3^2+4^2}\)

1. Calcul du numérateur :
   • Addition : \[ 3 + 4 = 7 \]
   • Élévation au carré : \[ 7^2 = 49 \]
2. Calcul du dénominateur :
   • Calcul de \(3^2\) et \(4^2\) : \[ 3^2 = 9 \quad \text{et} \quad 4^2 = 16 \]
   • Addition : \[ 9 + 16 = 25 \]
3. Fraction finale :
   \[ \frac{49}{25} \]

Réponse 5 : \(\frac{49}{25}\)

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Chaque étape a été décomposée pour vous aider à comprendre comment effectuer les calculs. Si vous avez des questions, n’hésitez pas à demander !