Exercice 16

Calculer les expressions suivantes :

1. \[ (6-2)^2 \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot \sqrt{13^2 - 5^2} \]

2. \[ 3 \cdot \left(\sqrt{16} - 2\right) + 4^2 \cdot \left(\sqrt{9} - 2\right) \]

3. \[ \frac{5 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \]

4. \[ (0,2)^2 \cdot \sqrt{1600} + \frac{\sqrt{2500}}{(0,5)^2} \]

5. \[ 8 + 3 \cdot \left(6^2 - \sqrt{100}\right) - 5^2 \]

Réponse

1. 84
   
2. 22
   
3. 27/5 (ou 5,4)
   
4. 201,6
   
5. 61

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression.

---

1) Expression

\[ (6-2)^2 \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot \sqrt{13^2-5^2} \]

Étape 1 : Calcul de \((6-2)^2\) et \(\sqrt{9}\)
- Calculer \(6-2\) :
\[ 6-2=4 \] - Élever au carré :
\[ 4^2=16 \] - Calcul de \(\sqrt{9}\) :
\[ \sqrt{9}=3 \]

Le premier terme devient donc :
\[ 16 \cdot 3 = 48 \]

Étape 2 : Calcul de \(\sqrt{13^2-5^2}\)
- Calculer \(13^2\) et \(5^2\) :
\[ 13^2=169 \quad \text{et} \quad 5^2=25 \] - Soustraire :
\[ 169-25=144 \] - Calculer la racine carrée :
\[ \sqrt{144}=12 \] - Multiplier par 3 :
\[ 3 \cdot 12=36 \]

Étape 3 : Additionner les deux résultats
\[ 48 + 36 = 84 \]

Réponse :
\[ 84 \]

---

2) Expression

\[ 3 \cdot \left(\sqrt{16} - 2\right) + 4^2 \cdot \left(\sqrt{9} - 2\right) \]

Étape 1 : Calcul du premier terme
- Calculer \(\sqrt{16}\) :
\[ \sqrt{16}=4 \] - Soustraire 2 :
\[ 4-2=2 \] - Multiplier par 3 :
\[ 3 \cdot 2=6 \]

Étape 2 : Calcul du second terme
- Calculer \(4^2\) :
\[ 4^2=16 \] - Calculer \(\sqrt{9}\) :
\[ \sqrt{9}=3 \] - Soustraire 2 :
\[ 3-2=1 \] - Multiplier par 16 :
\[ 16 \cdot 1=16 \]

Étape 3 : Additionner les deux résultats
\[ 6 + 16 = 22 \]

Réponse :
\[ 22 \]

---

3) Expression

\[ \frac{5 \cdot 6 + 3 \cdot 8}{\sqrt{6^2 + 8^2}} \]

Étape 1 : Calcul du numérateur
- Calculer \(5 \cdot 6\) :
\[ 5 \cdot 6=30 \] - Calculer \(3 \cdot 8\) :
\[ 3 \cdot 8=24 \] - Additionner :
\[ 30+24=54 \]

Étape 2 : Calcul du dénominateur
- Calculer \(6^2\) et \(8^2\) :
\[ 6^2=36 \quad \text{et} \quad 8^2=64 \] - Additionner :
\[ 36+64=100 \] - Calculer la racine carrée :
\[ \sqrt{100}=10 \]

Étape 3 : Effectuer la division
\[ \frac{54}{10}=\frac{27}{5} \quad \text{ou en décimal} \ 5,4 \]

Réponse :
\[ \frac{27}{5} \quad (\text{ou} \ 5,4) \]

---

4) Expression

\[ (0,2)^2 \cdot \sqrt{1600} + \frac{\sqrt{2500}}{(0,5)^2} \]

Remarque : Les nombres \(0,2\) et \(0,5\) représentent des décimaux (0.2 et 0.5).

Étape 1 : Calcul du premier terme
- Calculer \((0,2)^2\) :
\[ (0,2)^2=0,2^2=0,04 \] - Calculer \(\sqrt{1600}\) :
\[ \sqrt{1600}=40 \] - Multiplier :
\[ 0,04 \cdot 40=1,6 \]

Étape 2 : Calcul du second terme
- Calculer \(\sqrt{2500}\) :
\[ \sqrt{2500}=50 \] - Calculer \((0,5)^2\) :
\[ (0,5)^2=0,5^2=0,25 \] - Effectuer la division :
\[ \frac{50}{0,25}=200 \]

Étape 3 : Additionner les deux résultats
\[ 1,6+200=201,6 \]

Réponse :
\[ 201,6 \]

---

5) Expression

\[ 8 + 3 \cdot \left(6^2 - \sqrt{100}\right) - 5^2 \]

Étape 1 : Calcul à l’intérieur de la parenthèse
- Calculer \(6^2\) :
\[ 6^2=36 \] - Calculer \(\sqrt{100}\) :
\[ \sqrt{100}=10 \] - Soustraire :
\[ 36 - 10 = 26 \]

Étape 2 : Multiplier par 3
\[ 3 \cdot 26 = 78 \]

Étape 3 : Calcul de \(5^2\)
\[ 5^2=25 \]

Étape 4 : Additionner et soustraire
\[ 8+78-25=86-25=61 \]

Réponse :
\[ 61 \]

---

Ainsi, les valeurs finales de chaque expression sont :
1) 84
2) 22
3) \(\frac{27}{5}\) (ou \(5,4\))
4) 201,6
5) 61