Exercice 12

Exercice

Calculer :

\[ \left(3^2 - 2^2\right) \cdot 5 + 2 \cdot \left(3 + 1^5\right) \]
\[ \left(3 \cdot 5 + 2^2\right) \cdot 2 + \left(6^3 - 3 \cdot 11\right)^2 \]
\[ \frac{3^3 - 3^2}{2} + 4 \cdot \left(2^2 + 2^3\right) \]
\[ 7 \cdot \left(4^2 + 2\right) + 3 \cdot \left(2^4 + 4\right) \]
\[ 3^2 + 2 \cdot (8 - 4)^2 - 5 \cdot \left(27 - 5^2\right) \]
\[ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 \]

Réponse

Les réponses sont : 33, 33527, 57, 186, 31 et 255.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacun des exercices :

Exercice 1

Nous devons calculer : \[ \left(3^2 - 2^2\right) \cdot 5 + 2 \cdot \left(3 + 1^5\right) \]

Étape 1 : Calcul des puissances et des soustractions dans la première parenthèse

\(3^2 = 9\)
\(2^2 = 4\)

Donc, \[ 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \]

Étape 2 : Multiplication par 5 \[ 5 \cdot 5 = 25 \]

Étape 3 : Calcul dans la deuxième parenthèse

\(1^5 = 1\)
\(3 + 1 = 4\)

Ensuite, \[ 2 \cdot 4 = 8 \]

Étape 4 : Addition des deux parties \[ 25 + 8 = 33 \]

Réponse de l’exercice 1 : \(\boxed{33}\)

Exercice 2

Nous devons calculer : \[ \left(3 \cdot 5 + 2^2\right) \cdot 2 + \left(6^3 - 3 \cdot 11\right)^2 \]

Étape 1 : Calcul de la première parenthèse

\(3 \cdot 5 = 15\)
\(2^2 = 4\)

Donc, \[ 15 + 4 = 19 \] Puis, en multipliant par 2 : \[ 19 \cdot 2 = 38 \]

Étape 2 : Calcul de la deuxième parenthèse

\(6^3 = 216\)
\(3 \cdot 11 = 33\)

Ensuite, \[ 216 - 33 = 183 \] Puis, en élevant au carré : \[ 183^2 = 183 \times 183 = 33489 \]

Étape 3 : Additionner les deux parties \[ 38 + 33489 = 33527 \]

Réponse de l’exercice 2 : \(\boxed{33527}\)

Exercice 3

Nous devons calculer : \[ \frac{3^3 - 3^2}{2} + 4 \cdot \left(2^2 + 2^3\right) \]

Étape 1 : Calcul du numérateur de la fraction

\(3^3 = 27\)
\(3^2 = 9\)

Donc, \[ 27 - 9 = 18 \] Puis division par 2 : \[ \frac{18}{2} = 9 \]

Étape 2 : Calcul dans la deuxième parenthèse

\(2^2 = 4\)
\(2^3 = 8\)

Ainsi, \[ 4 + 8 = 12 \] Puis multiplication par 4 : \[ 4 \cdot 12 = 48 \]

Étape 3 : Addition des deux résultats \[ 9 + 48 = 57 \]

Réponse de l’exercice 3 : \(\boxed{57}\)

Exercice 4

Nous devons calculer : \[ 7 \cdot \left(4^2 + 2\right) + 3 \cdot \left(2^4 + 4\right) \]

Étape 1 : Calcul de la première expression

\(4^2 = 16\)
\(16 + 2 = 18\)

Puis, \[ 7 \cdot 18 = 126 \]

Étape 2 : Calcul de la deuxième expression

\(2^4 = 16\)
\(16 + 4 = 20\)

Puis, \[ 3 \cdot 20 = 60 \]

Étape 3 : Addition des deux résultats \[ 126 + 60 = 186 \]

Réponse de l’exercice 4 : \(\boxed{186}\)

Exercice 5

Nous devons calculer : \[ 3^2 + 2 \cdot (8-4)^2 - 5 \cdot \left(27 - 5^2\right) \]

Étape 1 : Calcul des puissances et des opérations

\(3^2 = 9\)
\(8-4 = 4\) donc \(4^2 = 16\) et ensuite \(2 \cdot 16 = 32\)
\(5^2 = 25\) donc \(27 - 25 = 2\) et ensuite \(5 \cdot 2 = 10\)

Étape 2 : Combinaison finale des résultats

On ajoute et soustrait : \[ 9 + 32 - 10 = 31 \]

Réponse de l’exercice 5 : \(\boxed{31}\)

Exercice 6

Nous devons calculer la somme suivante : \[ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 \]

Étape 1 : Calcul de chaque puissance de 2

\(2^7 = 128\)
\(2^6 = 64\)
\(2^5 = 32\)
\(2^4 = 16\)
\(2^3 = 8\)
\(2^2 = 4\)
\(2^1 = 2\)
\(2^0 = 1\)

Étape 2 : Additionner tous les termes

Additionnons progressivement : \[ 128 + 64 = 192 \] \[ 192 + 32 = 224 \] \[ 224 + 16 = 240 \] \[ 240 + 8 = 248 \] \[ 248 + 4 = 252 \] \[ 252 + 2 = 254 \] \[ 254 + 1 = 255 \]

Réponse de l’exercice 6 : \(\boxed{255}\)

Conclusion

Les réponses des exercices sont :

\(\boxed{33}\)
\(\boxed{33527}\)
\(\boxed{57}\)
\(\boxed{186}\)
\(\boxed{31}\)
\(\boxed{255}\)

Chaque étape a été détaillée afin de comprendre le raisonnement et les calculs nécessaires pour arriver à ces résultats.