Exercice 1

Regroupe, sans effectuer de calculs, les expressions qui sont égales :

1. \(3,7 \cdot (12 + 48)\)
   
2. \(12 + 48 \cdot 3,7\)
   
3. \(3,7 \cdot 12 + 48\)
   
4. \((12 + 48) \cdot 3,7\)
   
5. \(12 \cdot 3,7 + 48\)
   
6. \(48 + 12 \cdot 3,7\)

Réponse

1. et d) sont équivalentes, c), e) et f) sont équivalentes, et b) est différente des autres.

Corrigé détaillé

Nous allons analyser chacune des expressions en utilisant les propriétés de la commutativité et de l’association de la multiplication (et de l’addition) afin de déterminer celles qui sont identiques sans effectuer de calculs numériques.

Rappel des propriétés utilisées :
- La commutativité de la multiplication nous permet d’écrire \(a\times b = b\times a\).
- La distributivité nous dit que \(a\times (b+c) = a\times b + a\times c\).
- L’ordre des opérations (priorité de la multiplication sur l’addition) est aussi important.

Examinons chaque expression :

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Expression a)

\[ 3,7 \cdot (12+48) \]

Ici, on multiplie \(3,7\) par la somme \((12+48)\).
Elle reste telle quelle et peut être reprise sous la forme \((12+48)\cdot 3,7\) grâce à la commutativité de la multiplication.

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Expression d)

\[ (12+48) \cdot 3,7 \]

Cette expression est exactement la même que l’expression a) puisqu’elle est écrite dans l’ordre inverse.
Conclusion pour a) et d) :
Les expressions a) et d) sont égales entre elles.

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Expression b)

\[ 12 + 48 \cdot 3,7 \]

Ici, la multiplication \(48 \cdot 3,7\) est effectuée en premier (priorité de la multiplication) et ensuite on ajoute 12.
Cette forme ne permet pas de regrouper tous les termes comme une multiplication globale, et ne peut pas être mise sous la forme \(3,7 \cdot (12+48)\) (qui regroupe la somme avant multiplication).

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Expression c)

\[ 3,7 \cdot 12 + 48 \]

Cette écriture signifie que l’on multiplie \(3,7\) par \(12\), puis on ajoute \(48\).
Comme la multiplication est commutative, on peut aussi écrire \(12 \cdot 3,7 + 48\).

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Expression e)

\[ 12 \cdot 3,7 + 48 \]

Il s’agit exactement de la même opération que dans l’expression c) : multiplication suivie de l’addition.

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Expression f)

\[ 48 + 12 \cdot 3,7 \]

Ici, l’ordre écrit n’affecte pas le résultat de l’addition (addition commutative). C’est équivalent à \(12 \cdot 3,7 + 48\), donc identique à c) et e).

Conclusion pour c), e) et f) :
Ces trois expressions sont équivalentes.

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Récapitulatif des groupes

• Groupe 1 :
  Expressions a) et d) qui sont toutes deux égales à \(3,7\cdot(12+48)\).

• Groupe 2 :
  Expressions c), e) et f) qui donnent toutes \(3,7\cdot12+48\).

• Expression b) :
  Elle est différente car elle correspond à \(12+48\cdot3,7\) et n’appartient à aucun des deux groupes ci-dessus.

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Réponse finale

• a) et d) sont égales entre elles.
  
• c), e) et f) sont égales entre elles.
  
• b) est différente des autres.