Exercice :
Déterminez le plus petit nombre entier \(N\) tel que : - \(N \mod 10 = 9\), - \(N \mod 9 = 8\), - \(N \mod 8 = 7\), - \(\dots\), - \(N \mod 2 = 1\).
Le plus petit entier recherché est 2519, car 2519 + 1 = 2520 est le PPCM des entiers de 2 à 10.
Nous cherchons le plus petit nombre entier \(N\) tel que :
On remarque que pour chaque entier \(k\) tel que \(2 \leq k \leq 10\), le reste de la division de \(N\) par \(k\) est \(k - 1\). Cela s’écrit : \[ N \mod k = k - 1. \]
On peut ajouter \(1\) des deux côtés de chaque égalité : \[ N + 1 \mod k = k - 1 + 1 = k. \] Or, puisque \(k \mod k = 0\), cela montre que : \[ N + 1 \text{ est divisible par } k \quad \text{pour tout } k \in \{2, 3, 4, \dots, 10\}. \]
Dire que \(N + 1\) est divisible par chaque entier \(k\) de 2 à 10 revient à dire que \(N + 1\) est un multiple commun de 2, 3, 4, …, 10. Nous cherchons donc le plus petit \(N + 1\) qui soit un multiple commun à ces nombres, c’est-à-dire le plus petit commun multiple (PPCM) de tous ces entiers.
Pour calculer le PPCM, nous décomposons d’abord chaque nombre en facteurs premiers :
Le PPCM prend le plus grand exposant pour chaque facteur premier présent :
Ainsi, \[ \text{PPCM}(2,3,4,5,6,7,8,9,10) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7. \]
Calculons ce nombre pas à pas :
On trouve donc \(N + 1 = 2520\).
Puisque \(N + 1 = 2520\), il suffit de soustraire 1 pour obtenir \(N\) : \[ N = 2520 - 1 = 2519. \]
Le plus petit nombre entier \(N\) qui satisfait toutes les conditions est : \[ \boxed{2519}. \]
Cette solution montre que, en transformant le problème par une addition de 1, nous pouvons utiliser le concept de PPCM pour trouver rapidement le résultat recherché.