Exercice 22

Exercice

Calculer le plus petit commun multiple (ppcm) des entiers suivants, puis déterminer, à l’aide de la décomposition en facteurs premiers, combien de fois le ppcm contient chacun des entiers indiqués.

1. \(34\), \(10\) et \(17\)
2. \(21\), \(27\) et \(30\)
3. \(348\) et \(522\)
4. \(168\), \(252\) et \(336\)

Réponse

1. Pour 34, 10 et 17 : le ppcm est 170, qui contient 34 × 5, 10 × 17 et 17 × 10.

2. Pour 21, 27 et 30 : le ppcm est 1890, contenant respectivement 21 × 90, 27 × 70 et 30 × 63.

3. Pour 348 et 522 : le ppcm est 1044, soit 348 × 3 et 522 × 2.

4. Pour 168, 252 et 336 : le ppcm est 1008, correspondant à 168 × 6, 252 × 4 et 336 × 3.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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1. Calcul du ppcm de \(34\), \(10\) et \(17\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• \(34 = 2 \times 17\)
• \(10 = 2 \times 5\)
• \(17\) est déjà un nombre premier, donc \(17 = 17\)

Étape 2 : Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance

On recherche, pour chaque facteur premier, la plus grande puissance qu’il présente dans l’une des décompositions :

• Pour le facteur \(2\) : il apparaît comme \(2^1\) (dans \(34\) et \(10\)).
• Pour le facteur \(17\) : il apparaît comme \(17^1\) (dans \(34\) et \(17\)).
• Pour le facteur \(5\) : il apparaît comme \(5^1\) (dans \(10\)).

Le ppcm est donc : \[ ppcm = 2^1 \times 17^1 \times 5^1 = 2 \times 17 \times 5 = 170 \]

Étape 3 : Déterminer combien de fois le ppcm contient chacun des entiers

Pour chaque entier, il suffit de diviser le ppcm par l’entier en question.

• Pour \(34\) : \(\displaystyle \frac{170}{34} = 5\)
• Pour \(10\) : \(\displaystyle \frac{170}{10} = 17\)
• Pour \(17\) : \(\displaystyle \frac{170}{17} = 10\)

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2. Calcul du ppcm de \(21\), \(27\) et \(30\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• \(21 = 3 \times 7\)
• \(27 = 3^3\)
• \(30 = 2 \times 3 \times 5\)

Étape 2 : Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance

• Pour le facteur \(2\) : \(2^1\) (seulement dans \(30\)).
• Pour le facteur \(3\) : la plus grande puissance est \(3^3\) (dans \(27\)).
• Pour le facteur \(5\) : \(5^1\) (dans \(30\)).
• Pour le facteur \(7\) : \(7^1\) (dans \(21\)).

Le ppcm est donc : \[ ppcm = 2^1 \times 3^3 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 27 \times 5 \times 7 \] Calculons : - \(2 \times 27 = 54\) - \(54 \times 5 = 270\) - \(270 \times 7 = 1890\)

Ainsi, \(ppcm = 1890\).

Étape 3 : Déterminer combien de fois le ppcm contient chacun des entiers

• Pour \(21\) : \(\displaystyle \frac{1890}{21} = 90\)
  (car \(21 \times 90 = 1890\))
• Pour \(27\) : \(\displaystyle \frac{1890}{27} = 70\)
  (car \(27 \times 70 = 1890\))
• Pour \(30\) : \(\displaystyle \frac{1890}{30} = 63\)
  (car \(30 \times 63 = 1890\))

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3. Calcul du ppcm de \(348\) et \(522\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(348\) :

1. \(348\) est pair : \(348 = 2 \times 174\)
2. \(174\) est pair : \(174 = 2 \times 87\)
   Donc, \(348 = 2^2 \times 87\)
3. Décomposons \(87\) : \(87 = 3 \times 29\)

On obtient : \[ 348 = 2^2 \times 3 \times 29 \]

Pour \(522\) :

1. \(522\) est pair : \(522 = 2 \times 261\)
2. \(261 = 3 \times 87\)
3. Comme \(87 = 3 \times 29\), cela donne :
   \(261 = 3^2 \times 29\)

On obtient : \[ 522 = 2 \times 3^2 \times 29 \]

Étape 2 : Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance

• Pour le facteur \(2\) : la plus grande puissance est \(2^2\) (présente dans \(348\)).
• Pour le facteur \(3\) : la plus grande puissance est \(3^2\) (présente dans \(522\)).
• Pour le facteur \(29\) : \(29^1\) pour les deux nombres.

Le ppcm devient : \[ ppcm = 2^2 \times 3^2 \times 29 = 4 \times 9 \times 29 \] Calculons : - \(4 \times 9 = 36\) - \(36 \times 29 = 1044\)

Ainsi, \(ppcm = 1044\).

Étape 3 : Déterminer combien de fois le ppcm contient chacun des entiers

• Pour \(348\) : \(\displaystyle \frac{1044}{348} = 3\)
  (car \(348 \times 3 = 1044\))
• Pour \(522\) : \(\displaystyle \frac{1044}{522} = 2\)
  (car \(522 \times 2 = 1044\))

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4. Calcul du ppcm de \(168\), \(252\) et \(336\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(168\) :

1. \(168 = 2 \times 84\)
2. \(84 = 2 \times 42\)
3. \(42 = 2 \times 21\)
   Ainsi, \(168 = 2^3 \times 21\)
4. \(21 = 3 \times 7\)

On obtient : \[ 168 = 2^3 \times 3 \times 7 \]

Pour \(252\) :

1. \(252 = 2 \times 126\)
2. \(126 = 2 \times 63\)
   Donc, \(252 = 2^2 \times 63\)
3. \(63 = 3^2 \times 7\)

On obtient : \[ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 \]

Pour \(336\) :

1. \(336 = 2 \times 168\)
2. Puisque \(168 = 2^3 \times 3 \times 7\), on a : \[ 336 = 2^4 \times 3 \times 7 \]

Étape 2 : Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance

• Pour le facteur \(2\) : la plus grande puissance est \(2^4\) (dans \(336\)).
• Pour le facteur \(3\) : la plus grande puissance est \(3^2\) (dans \(252\)).
• Pour le facteur \(7\) : \(7^1\) dans chacun des cas.

Le ppcm est donc : \[ ppcm = 2^4 \times 3^2 \times 7 = 16 \times 9 \times 7 \] Calculons : - \(16 \times 9 = 144\) - \(144 \times 7 = 1008\)

Ainsi, \(ppcm = 1008\).

Étape 3 : Déterminer combien de fois le ppcm contient chacun des entiers

• Pour \(168\) : \(\displaystyle \frac{1008}{168} = 6\)
  (car \(168 \times 6 = 1008\))
• Pour \(252\) : \(\displaystyle \frac{1008}{252} = 4\)
  (car \(252 \times 4 = 1008\))
• Pour \(336\) : \(\displaystyle \frac{1008}{336} = 3\)
  (car \(336 \times 3 = 1008\))

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Résumé des résultats

1. Pour \(34\), \(10\) et \(17\) :
   • \(ppcm = 170\)
     
   • \(170 \div 34 = 5\), \(170 \div 10 = 17\), \(170 \div 17 = 10\).
2. Pour \(21\), \(27\) et \(30\) :
   • \(ppcm = 1890\)
     
   • \(1890 \div 21 = 90\), \(1890 \div 27 = 70\), \(1890 \div 30 = 63\).
3. Pour \(348\) et \(522\) :
   • \(ppcm = 1044\)
     
   • \(1044 \div 348 = 3\), \(1044 \div 522 = 2\).
4. Pour \(168\), \(252\) et \(336\) :
   • \(ppcm = 1008\)
     
   • \(1008 \div 168 = 6\), \(1008 \div 252 = 4\), \(1008 \div 336 = 3\).

Cette démarche détaillée permet de comprendre, étape par étape, comment calculer le plus petit commun multiple et comment vérifier combien de fois il contient les entiers donnés en utilisant la décomposition en facteurs premiers.