Exercice 21

Pour chacun des ensembles d’entiers suivants, effectuez les opérations suivantes :

Calculez le plus petit commun multiple (PPCM) de l’ensemble.
Décomposez le PPCM en facteurs premiers afin de déterminer combien de fois chaque entier apparaît dans cette décomposition.

Les ensembles sont : 1. \(100\), \(120\), \(150\) et \(200\). 2. \(676\) et \(260\). 3. \(210\) et \(252\). 4. \(8\), \(15\) et \(24\).

Réponse

Réponses : 1. Pour 100, 120, 150 et 200 : PPCM = 600 (600 = 2³ × 3 × 5²) 2. Pour 676 et 260 : PPCM = 3380 (3380 = 2² × 5 × 13²) 3. Pour 210 et 252 : PPCM = 1260 (1260 = 2² × 3² × 5 × 7) 4. Pour 8, 15 et 24 : PPCM = 120 (120 = 2³ × 3 × 5)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

Ensemble 1 : 100, 120, 150 et 200

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

100
On écrit :
\[ 100 = 10 \times 10 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5^2. \]
120
Calculons les décompositions étape par étape :
\[ 120 = 12 \times 10 = (2^2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3 \times 5. \]
150
On peut écrire :
\[ 150 = 15 \times 10 = (3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^2. \]
200
La décomposition est la suivante :
\[ 200 = 2 \times 100 = 2 \times (2^2 \times 5^2) = 2^3 \times 5^2. \]

Étape 2 : Trouver le plus petit commun multiple (PPCM)

Le PPCM est obtenu en prenant, pour chaque nombre premier, la plus grande puissance apparaissant dans une décomposition quelconque.

Pour le nombre 2 : la plus grande puissance est \(2^3\) (présente dans 120 et 200).
Pour le nombre 3 : la puissance est \(3^1\) (présente dans 120 et 150).
Pour le nombre 5 : la plus grande puissance est \(5^2\) (présente dans 100, 150 et 200).

Ainsi, le PPCM est : \[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3 \times 5^2. \]

Calculons : \[ 2^3 = 8,\quad 5^2 = 25,\quad \text{donc}\quad 8 \times 3 = 24\quad \text{et}\quad 24 \times 25 = 600. \]

Réponse Ensemble 1 :
Le PPCM de \(100\), \(120\), \(150\) et \(200\) est 600 et sa décomposition en facteurs premiers est : \[ 600 = 2^3 \times 3 \times 5^2. \]

Ensemble 2 : 676 et 260

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

676
On remarque que \(676 = 26^2\) et que \(26 = 2 \times 13\).
Donc, \[ 676 = (2 \times 13)^2 = 2^2 \times 13^2. \]
260
On décompose : \[ 260 = 2 \times 130 = 2^2 \times 65 = 2^2 \times 5 \times 13. \]

Étape 2 : Déterminer le PPCM

Relevons les puissances maximales pour chaque nombre premier :

Pour le nombre 2 : la plus grande puissance est \(2^2\).
Pour le nombre 5 : il apparaît sous la forme \(5^1\) dans 260.
Pour le nombre 13 : la plus grande puissance est \(13^2\) (dans 676).

Le PPCM est donc : \[ \text{PPCM} = 2^2 \times 5 \times 13^2. \]

Calculons : \[ 2^2 = 4,\quad 13^2 = 169,\quad \text{donc}\quad 4 \times 5 = 20\quad \text{et}\quad 20 \times 169 = 3380. \]

Réponse Ensemble 2 :
Le PPCM de \(676\) et \(260\) est 3380 et sa décomposition en facteurs premiers est : \[ 3380 = 2^2 \times 5 \times 13^2. \]

Ensemble 3 : 210 et 252

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

210
On décompose : \[ 210 = 2 \times 105 = 2 \times (3 \times 35) = 2 \times 3 \times (5 \times 7) = 2 \times 3 \times 5 \times 7. \]
252
On procède ainsi :
\[ 252 \div 2 = 126,\quad 126 \div 2 = 63,\quad \text{et}\quad 63 = 3^2 \times 7. \] Donc, \[ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7. \]

Étape 2 : Calcul du PPCM

Pour chaque nombre premier, on retient la plus grande puissance :

Pour le nombre 2 : la puissante maximale est \(2^2\) (dans 252).
Pour le nombre 3 : la plus grande puissance est \(3^2\) (dans 252).
Pour le nombre 5 : apparaît sous la forme \(5^1\) (dans 210).
Pour le nombre 7 : apparaît sous la forme \(7^1\) dans les deux.

Ainsi : \[ \text{PPCM} = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7. \]

Calculons : \[ 2^2 = 4,\quad 3^2 = 9,\quad 4 \times 9 = 36,\quad 36 \times 5 = 180,\quad 180 \times 7 = 1260. \]

Réponse Ensemble 3 :
Le PPCM de \(210\) et \(252\) est 1260 et sa décomposition en facteurs premiers est : \[ 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7. \]

Ensemble 4 : 8, 15 et 24

Étape 1 : Décomposer en facteurs premiers

8
Il est facile de remarquer que : \[ 8 = 2^3. \]
15
On a : \[ 15 = 3 \times 5. \]
24
La décomposition est la suivante : \[ 24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3. \]

Étape 2 : Calcul du PPCM

Pour chaque nombre premier, prenons la puissance la plus élevée :

Pour le nombre 2 : la plus grande puissance est \(2^3\) (présente dans 8 et 24).
Pour le nombre 3 : la puissance est \(3^1\) (présente dans 15 et 24).
Pour le nombre 5 : \(5^1\) (présente dans 15).

Le PPCM est donc : \[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3 \times 5. \]

Calculons : \[ 2^3 = 8,\quad 8 \times 3 = 24,\quad 24 \times 5 = 120. \]

Réponse Ensemble 4 :
Le PPCM de \(8\), \(15\) et \(24\) est 120 et sa décomposition en facteurs premiers est : \[ 120 = 2^3 \times 3 \times 5. \]

Récapitulatif des réponses

Ensemble 1 (100, 120, 150, 200) :
\[ \text{PPCM} = 600 = 2^3 \times 3 \times 5^2. \]
Ensemble 2 (676, 260) :
\[ \text{PPCM} = 3380 = 2^2 \times 5 \times 13^2. \]
Ensemble 3 (210, 252) :
\[ \text{PPCM} = 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7. \]
Ensemble 4 (8, 15, 24) :
\[ \text{PPCM} = 120 = 2^3 \times 3 \times 5. \]

Chaque étape a permis de décomposer les nombres en facteurs premiers, de choisir les plus grandes puissances pour chaque nombre premier et enfin de calculer le produit pour obtenir le PPCM.