Exercice 20

Exercice :

Calculer le plus petit commun multiple (ppcm) des ensembles d’entiers suivants. Ensuite, à l’aide de la décomposition en facteurs premiers, déterminer combien de fois chacun des entiers est contenu dans le ppcm.

\(50\), \(60\) et \(100\)
\(60\) et \(64\)
\(80\) et \(84\)
\(80\), \(84\) et \(90\)

Réponse

Pour 50, 60 et 100 : ppcm = 300, donc 300/50 = 6, 300/60 = 5 et 300/100 = 3.
Pour 60 et 64 : ppcm = 960, donc 960/60 = 16 et 960/64 = 15.
Pour 80 et 84 : ppcm = 1680, donc 1680/80 = 21 et 1680/84 = 20.
Pour 80, 84 et 90 : ppcm = 5040, donc 5040/80 = 63, 5040/84 = 60 et 5040/90 = 56.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

1. Ensemble : \(50\), \(60\) et \(100\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(50\) :
\[ 50 = 2 \times 25 = 2 \times 5^2. \]
Pour \(60\) :
\[ 60 = 2 \times 30 = 2^2 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5. \]
Pour \(100\) :
\[ 100 = 10 \times 10 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2. \]

Étape 2 : Calcul du ppcm

Le plus petit commun multiple est obtenu en prenant, pour chaque facteur premier, la plus grande puissance trouvée :

Pour \(2\) : la plus grande puissance est \(2^2\).
Pour \(3\) : la seule puissance est \(3^1\) (issue de \(60\)).
Pour \(5\) : la plus grande puissance est \(5^2\).

Ainsi, \[ \text{ppcm}(50,\,60,\,100) = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300. \]

Étape 3 : Déterminer combien de fois chaque entier est contenu dans le ppcm

Pour chaque entier, nous calculons le quotient :
- Pour \(50\) : \[ \frac{300}{50} = \frac{2^2 \times 3 \times 5^2}{2 \times 5^2} = 2 \times 3 = 6. \] Ainsi, \(50\) est contenu 6 fois dans 300.

Pour \(60\) : \[ \frac{300}{60} = \frac{2^2 \times 3 \times 5^2}{2^2 \times 3 \times 5} = 5. \] Ainsi, \(60\) est contenu 5 fois dans 300.
Pour \(100\) : \[ \frac{300}{100} = \frac{2^2 \times 3 \times 5^2}{2^2 \times 5^2} = 3. \] Ainsi, \(100\) est contenu 3 fois dans 300.

2. Ensemble : \(60\) et \(64\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(60\) :
\[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5. \]
Pour \(64\) :
\[ 64 = 2^6. \]

Étape 2 : Calcul du ppcm

Les facteurs premiers et leurs puissances maximales :
- Pour \(2\) : la plus grande puissance est \(2^6\) (issue de \(64\)).
- Pour \(3\) : on a \(3^1\) (de \(60\)).
- Pour \(5\) : on a \(5^1\) (de \(60\)).

Donc,
\[ \text{ppcm}(60,\,64) = 2^6 \times 3^1 \times 5^1 = 64 \times 3 \times 5 = 960. \]

Étape 3 : Déterminer combien de fois chaque entier est contenu dans le ppcm

Pour \(60\) : \[ \frac{960}{60} = \frac{2^6 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 5} = 2^{6-2} = 2^4 = 16. \] Ainsi, \(60\) est contenu 16 fois dans 960.
Pour \(64\) : \[ \frac{960}{64} = \frac{2^6 \times 3 \times 5}{2^6} = 3 \times 5 = 15. \] Ainsi, \(64\) est contenu 15 fois dans 960.

3. Ensemble : \(80\) et \(84\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(80\) :
\[ 80 = 16 \times 5 = 2^4 \times 5. \]
Pour \(84\) :
\[ 84 = 2^2 \times 21 = 2^2 \times 3 \times 7. \]

Étape 2 : Calcul du ppcm

Les facteurs premiers et leurs puissances maximales :
- Pour \(2\) : la plus grande puissance est \(2^4\) (de \(80\)).
- Pour \(3\) : \(3^1\) (de \(84\)).
- Pour \(5\) : \(5^1\) (de \(80\)).
- Pour \(7\) : \(7^1\) (de \(84\)).

Donc,
\[ \text{ppcm}(80,\,84) = 2^4 \times 3 \times 5 \times 7 = 16 \times 3 \times 5 \times 7 = 1680. \]

Étape 3 : Déterminer combien de fois chaque entier est contenu dans le ppcm

Pour \(80\) : \[ \frac{1680}{80} = \frac{2^4 \times 3 \times 5 \times 7}{2^4 \times 5} = 3 \times 7 = 21. \] Ainsi, \(80\) est contenu 21 fois dans 1680.
Pour \(84\) : \[ \frac{1680}{84} = \frac{2^4 \times 3 \times 5 \times 7}{2^2 \times 3 \times 7} = 2^{4-2} \times 5 = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20. \] Ainsi, \(84\) est contenu 20 fois dans 1680.

4. Ensemble : \(80\), \(84\) et \(90\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

Pour \(80\) :
\[ 80 = 2^4 \times 5. \]
Pour \(84\) :
\[ 84 = 2^2 \times 3 \times 7. \]
Pour \(90\) :
\[ 90 = 2 \times 45 = 2 \times 9 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5. \]

Étape 2 : Calcul du ppcm

Pour déterminer le ppcm, on prend les plus grandes puissances pour chaque facteur premier présent :

Pour \(2\) : la plus grande puissance est \(2^4\) (de \(80\)).
Pour \(3\) : la plus grande puissance est \(3^2\) (de \(90\)).
Pour \(5\) : \(5^1\) (présent dans \(80\) et \(90\)).
Pour \(7\) : \(7^1\) (de \(84\)).

Ainsi,
\[ \text{ppcm}(80,\,84,\,90) = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7. \]

Calculons-le numériquement : \[ 2^4 = 16, \quad 3^2 = 9. \] Ensuite, \[ 16 \times 9 = 144, \quad 144 \times 5 = 720, \quad 720 \times 7 = 5040. \] Donc,
\[ \text{ppcm}(80,\,84,\,90) = 5040. \]

Étape 3 : Déterminer combien de fois chaque entier est contenu dans le ppcm

Pour \(80\) : \[ \frac{5040}{80} = \frac{2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7}{2^4 \times 5} = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63. \] Ainsi, \(80\) est contenu 63 fois dans 5040.
Pour \(84\) : \[ \frac{5040}{84} = \frac{2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7}{2^2 \times 3 \times 7} = 2^{4-2} \times 3^{2-1} \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5. \] Calculons : \[ 2^2 = 4,\quad 4 \times 3 = 12,\quad 12 \times 5 = 60. \] Ainsi, \(84\) est contenu 60 fois dans 5040.
Pour \(90\) : \[ \frac{5040}{90} = \frac{2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7}{2 \times 3^2 \times 5} = 2^{4-1} \times 7 = 2^3 \times 7. \] Calculons : \[ 2^3 = 8,\quad 8 \times 7 = 56. \] Ainsi, \(90\) est contenu 56 fois dans 5040.

Résumé des réponses

Ensemble \(50\), \(60\) et \(100\) :
- \(\text{ppcm} = 300\)
- \(50\) est contenu 6 fois, \(60\) est contenu 5 fois, \(100\) est contenu 3 fois.
Ensemble \(60\) et \(64\) :
- \(\text{ppcm} = 960\)
- \(60\) est contenu 16 fois, \(64\) est contenu 15 fois.
Ensemble \(80\) et \(84\) :
- \(\text{ppcm} = 1680\)
- \(80\) est contenu 21 fois, \(84\) est contenu 20 fois.
Ensemble \(80\), \(84\) et \(90\) :
- \(\text{ppcm} = 5040\)
- \(80\) est contenu 63 fois, \(84\) est contenu 60 fois, \(90\) est contenu 56 fois.

Cette méthode par décomposition en facteurs premiers permet de déterminer le plus petit commun multiple et de comprendre comment chaque nombre se retrouve dans ce produit final.