Exercice 19
Exercice
Calculer le plus petit commun multiple (ppcm) des nombres suivants
:
- \(20\), \(30\) et \(40\)
- \(10\), \(12\) et \(24\)
- \(6\), \(8\) et \(24\)
- \(2\), \(3\), \(4\)
et \(6\)
Réponse
La méthode consiste à décomposer chaque nombre en facteurs premiers
et à retenir, pour chaque facteur, son exposant maximal. On en déduit :
– ppcm(20, 30, 40) = 120
– ppcm(10, 12, 24) = 120
– ppcm(6, 8, 24) = 24
– ppcm(2, 3, 4, 6) = 12.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Méthode générale
Pour calculer le ppcm de plusieurs nombres, on
procède par étapes :
- Décomposition en facteurs premiers : On écrit
chaque nombre sous la forme d’un produit de nombres premiers.
- Recherche des exposants maximaux : Pour chaque
nombre premier présent dans les décompositions, on retient l’exposant le
plus élevé.
- Calcul du produit : Le ppcm est le produit de ces
nombres premiers élevés à leurs exposants maximaux.
1) Calcul du ppcm de \(20\), \(30\) et \(40\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(20 = 2^2 \times 5\)
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
- \(40 = 2^3 \times 5\)
- Exposants maximaux :
- Pour le nombre premier \(2\) :
l’exposant maximum est \(3\) (dans
\(40\)).
- Pour le nombre premier \(3\) :
l’exposant maximum est \(1\) (dans
\(30\)).
- Pour le nombre premier \(5\) :
l’exposant maximum est \(1\) (présent
dans \(20\), \(30\) et \(40\)).
- Calcul du ppcm : \[
\text{ppcm}(20, 30, 40) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times
5 = 120.
\]
2) Calcul du ppcm de \(10\), \(12\) et \(24\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(10 = 2 \times 5\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)
- \(24 = 2^3 \times 3\)
- Exposants maximaux :
- Pour \(2\) : l’exposant maximum est
\(3\) (dans \(24\)).
- Pour \(3\) : l’exposant maximum est
\(1\) (dans \(12\) et \(24\)).
- Pour \(5\) : l’exposant est \(1\) (uniquement dans \(10\)).
- Calcul du ppcm : \[
\text{ppcm}(10, 12, 24) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times
5 = 120.
\]
3) Calcul du ppcm de \(6\), \(8\)
et \(24\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(8 = 2^3\)
- \(24 = 2^3 \times 3\)
- Exposants maximaux :
- Pour \(2\) : l’exposant maximum est
\(3\) (dans \(8\) et \(24\)).
- Pour \(3\) : l’exposant maximum est
\(1\) (dans \(6\) et \(24\)).
- Calcul du ppcm : \[
\text{ppcm}(6, 8, 24) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24.
\]
4) Calcul du ppcm de \(2\), \(3\), \(4\)
et \(6\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(2 = 2\)
- \(3 = 3\)
- \(4 = 2^2\)
- \(6 = 2 \times 3\)
- Exposants maximaux :
- Pour \(2\) : l’exposant maximum est
\(2\) (dans \(4\)).
- Pour \(3\) : l’exposant maximum est
\(1\) (dans \(3\) et \(6\)).
- Calcul du ppcm : \[
\text{ppcm}(2, 3, 4, 6) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12.
\]
Récapitulatif des résultats
- \(\text{ppcm}(20, 30, 40) =
120\)
- \(\text{ppcm}(10, 12, 24) =
120\)
- \(\text{ppcm}(6, 8, 24) = 24\)
- \(\text{ppcm}(2, 3, 4, 6) =
12\)
Ces résultats ont été obtenus en décomposant chaque nombre en
facteurs premiers et en prenant les exposants maximaux pour chaque
facteur.