Exercice 18

Exercice
Calculer le plus petit commun multiple (PPCM) des ensembles de nombres suivants :

1. \(72\), \(36\) et \(3\)
   
2. \(12\), \(15\) et \(20\)
   
3. \(55\), \(22\) et \(33\)
   
4. \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\)

Réponse

1. PPCM(72, 36, 3) = 72
   
2. PPCM(12, 15, 20) = 60
   
3. PPCM(55, 22, 33) = 330
   
4. PPCM(2, 3, 4, 5) = 60

Corrigé détaillé

Voici la solution détaillée :

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1. Calcul du PPCM de \(72\), \(36\) et \(3\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• Pour \(72\) :
  \[ 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \]

• Pour \(36\) :
  \[ 36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2^2 \times 3^2 \]

• Pour \(3\) :
  \[ 3 = 3^1 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur plus grand exposant

Nous avons les facteurs premiers \(2\) et \(3\) :

• Pour le facteur \(2\) :
  Les exposants sont \(3\) (dans \(72\)) et \(2\) (dans \(36\)). Le plus grand exposant est \(3\).

• Pour le facteur \(3\) :
  Les exposants sont \(2\) (dans \(72\) et \(36\)) et \(1\) (dans \(3\)). Le plus grand exposant est \(2\).

Étape 3 : Calculer le PPCM

Le PPCM est donc : \[ \text{PPCM} = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]

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2. Calcul du PPCM de \(12\), \(15\) et \(20\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• Pour \(12\) :
  \[ 12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \]

• Pour \(15\) :
  \[ 15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1 \]

• Pour \(20\) :
  \[ 20 = 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5^1 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur plus grand exposant

Les facteurs premiers sont \(2\), \(3\) et \(5\) :

• Facteur \(2\) : exposant \(2\) dans \(12\) et \(20\).
  
• Facteur \(3\) : exposant \(1\) dans \(12\) et \(15\).
  
• Facteur \(5\) : exposant \(1\) dans \(15\) et \(20\).

Étape 3 : Calculer le PPCM

Le PPCM est : \[ \text{PPCM} = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \]

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3. Calcul du PPCM de \(55\), \(22\) et \(33\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• Pour \(55\) :
  \[ 55 = 5 \times 11 = 5^1 \times 11^1 \]

• Pour \(22\) :
  \[ 22 = 2 \times 11 = 2^1 \times 11^1 \]

• Pour \(33\) :
  \[ 33 = 3 \times 11 = 3^1 \times 11^1 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur plus grand exposant

Les facteurs premiers sont \(2\), \(3\), \(5\) et \(11\) :

• Facteur \(2\) : présent avec exposant \(1\) dans \(22\).
  
• Facteur \(3\) : présent avec exposant \(1\) dans \(33\).
  
• Facteur \(5\) : présent avec exposant \(1\) dans \(55\).
  
• Facteur \(11\) : présent avec exposant \(1\) dans chacun des nombres.

Étape 3 : Calculer le PPCM

Le PPCM est alors : \[ \text{PPCM} = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 11^1 = 2 \times 3 \times 5 \times 11 = 330 \]

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4. Calcul du PPCM de \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\)

Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers

• Pour \(2\) :
  \[ 2 = 2^1 \]

• Pour \(3\) :
  \[ 3 = 3^1 \]

• Pour \(4\) :
  \[ 4 = 2 \times 2 = 2^2 \]

• Pour \(5\) :
  \[ 5 = 5^1 \]

Étape 2 : Identifier les facteurs avec leur plus grand exposant

Les facteurs premiers sont \(2\), \(3\) et \(5\) :

• Pour le facteur \(2\) : l’exposant maximum est \(2\) (dans \(4\)).
  
• Pour le facteur \(3\) : exposant \(1\).
  
• Pour le facteur \(5\) : exposant \(1\).

Étape 3 : Calculer le PPCM

Le PPCM est : \[ \text{PPCM} = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \]

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Résumé des résultats

1. Le PPCM de \(72\), \(36\) et \(3\) est \(\mathbf{72}\).
   
2. Le PPCM de \(12\), \(15\) et \(20\) est \(\mathbf{60}\).
   
3. Le PPCM de \(55\), \(22\) et \(33\) est \(\mathbf{330}\).
   
4. Le PPCM de \(2\), \(3\), \(4\) et \(5\) est \(\mathbf{60}\).

Chaque étape consiste à décomposer les nombres en facteurs premiers, à retenir pour chaque facteur le plus grand exposant trouvé, puis à multiplier ces puissances pour obtenir le PPCM.