Exercice 17

Exercice

Calculer le plus petit commun multiple (ppcm) des ensembles d’entiers suivants :

1. \(\{12,\, 18,\, 24\}\)
2. \(\{15,\, 20,\, 40\}\)
3. \(\{50,\, 20,\, 100\}\)
4. \(\{75,\, 25,\, 3\}\)

Réponse

1. ppcm({12, 18, 24}) = 72
   
2. ppcm({15, 20, 40}) = 120
   
3. ppcm({50, 20, 100}) = 100
   
4. ppcm({75, 25, 3}) = 75

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour calculer le plus petit commun multiple (ppcm) de chacun des ensembles d’entiers.

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1. Ensemble \(\{12, 18, 24\}\)

Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
- \(12 = 2^2 \times 3\)
- \(18 = 2 \times 3^2\)
- \(24 = 2^3 \times 3\)

Étape 2 : Pour chaque facteur premier, retenir l’exposant le plus élevé parmi les décompositions
- Pour le facteur \(2\) : l’exposant le plus élevé est \(3\) (provenant de \(24\)).
- Pour le facteur \(3\) : l’exposant le plus élevé est \(2\) (provenant de \(18\)).

Étape 3 : Multiplier ces facteurs avec leurs exposants maximaux
\[ \text{ppcm} = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \]

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2. Ensemble \(\{15, 20, 40\}\)

Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
- \(15 = 3 \times 5\)
- \(20 = 2^2 \times 5\)
- \(40 = 2^3 \times 5\)

Étape 2 : Pour chaque facteur premier, retenir l’exposant le plus élevé
- Pour le facteur \(2\) : l’exposant maximal est \(3\) (provenant de \(40\)).
- Pour le facteur \(3\) : il apparaît avec l’exposant \(1\) (provenant de \(15\)).
- Pour le facteur \(5\) : il apparaît avec l’exposant \(1\) dans tous les cas.

Étape 3 : Calcul du ppcm
\[ \text{ppcm} = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \]

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3. Ensemble \(\{50, 20, 100\}\)

Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
- \(50 = 2 \times 5^2\)
- \(20 = 2^2 \times 5\)
- \(100 = 2^2 \times 5^2\)

Étape 2 : Pour chaque facteur premier, retenir l’exposant le plus élevé
- Pour le facteur \(2\) : l’exposant maximal est \(2\) (provenant de \(20\) ou \(100\)).
- Pour le facteur \(5\) : l’exposant maximal est \(2\) (provenant de \(50\) ou \(100\)).

Étape 3 : Calcul du ppcm
\[ \text{ppcm} = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25 = 100 \]

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4. Ensemble \(\{75, 25, 3\}\)

Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
- \(75 = 3 \times 5^2\)
- \(25 = 5^2\)
- \(3 = 3\)

Étape 2 : Pour chaque facteur premier, retenir l’exposant le plus élevé
- Pour le facteur \(3\) : l’exposant maximal est \(1\) (présent dans \(75\) et \(3\)).
- Pour le facteur \(5\) : l’exposant maximal est \(2\) (présent dans \(75\) et \(25\)).

Étape 3 : Calcul du ppcm
\[ \text{ppcm} = 3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75 \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(\mathrm{ppcm}(\{12, 18, 24\}) = 72\)
   
2. \(\mathrm{ppcm}(\{15, 20, 40\}) = 120\)
   
3. \(\mathrm{ppcm}(\{50, 20, 100\}) = 100\)
   
4. \(\mathrm{ppcm}(\{75, 25, 3\}) = 75\)

Chaque étape utilise la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le plus petit nombre divisible par tous les nombres de l’ensemble. Cette méthode est très utile pour bien comprendre comment se combinent les différents facteurs premiers.