Exercice 16

Exercice

Déterminez le plus petit dénominateur commun pour chacune des paires de fractions suivantes :

\(\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{5}\)
\(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{40}\)
\(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{10}\)
\(\frac{2}{7}\) et \(\frac{7}{10}\)
\(\frac{1}{10}\) et \(\frac{7}{12}\)
\(\frac{7}{20}\) et \(\frac{7}{30}\)

Réponse

Réponses : 1. 10
2. 40
3. 30
4. 70
5. 60
6. 60

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français :

Énoncé de l’exercice

Pour chaque paire de fractions, déterminer le plus petit dénominateur commun consiste à trouver le \(\textbf{plus petit multiple commun (PPCM)}\) des dénominateurs de ces fractions.

1. Fractions \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{5}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(2\) et \(5\).

Étape 2 : Trouver le PPCM de \(2\) et \(5\)
- Les multiples de \(2\) sont : \(2, 4, 6, 8, 10, \dots\)
- Les multiples de \(5\) sont : \(5, 10, 15, \dots\)

Le premier multiple commun est \(10\).

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{10}\).

2. Fractions \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{40}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(4\) et \(40\).

Étape 2 : Trouver le PPCM de \(4\) et \(40\)
On remarque que \(40\) est un multiple de \(4\) (\(40 = 4 \times 10\)).

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{40}\).

3. Fractions \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{10}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(6\) et \(10\).

Étape 2 : Décomposer en facteurs premiers
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(10 = 2 \times 5\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
Pour obtenir le PPCM, on prend chaque facteur premier avec sa puissance la plus élevée : - Facteur \(2\) : puissance \(1\)
- Facteur \(3\) : puissance \(1\)
- Facteur \(5\) : puissance \(1\)

Ainsi, \(PPCM = 2 \times 3 \times 5 = 30\).

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{30}\).

4. Fractions \(\frac{2}{7}\) et \(\frac{7}{10}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(7\) et \(10\).

Étape 2 : Décomposer en facteurs premiers
- \(7\) est un nombre premier.
- \(10 = 2 \times 5\).

Étape 3 : Calculer le PPCM
On multiplie \(7\) (qui n’a pas de facteurs communs avec \(10\)) par \(10\) :

\[ PPCM = 7 \times 10 = 70. \]

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{70}\).

5. Fractions \(\frac{1}{10}\) et \(\frac{7}{12}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(10\) et \(12\).

Étape 2 : Décomposer en facteurs premiers
- \(10 = 2 \times 5\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
On prend chaque facteur avec sa puissance maximale : - Facteur \(2\) : puissance \(2\)
- Facteur \(3\) : puissance \(1\)
- Facteur \(5\) : puissance \(1\)

Ainsi, \(PPCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{60}\).

6. Fractions \(\frac{7}{20}\) et \(\frac{7}{30}\)

Étape 1 : Identifier les dénominateurs
Les dénominateurs sont \(20\) et \(30\).

Étape 2 : Décomposer en facteurs premiers
- \(20 = 2^2 \times 5\)
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)

Étape 3 : Calculer le PPCM
On prend chaque facteur avec sa puissance la plus élevée : - Facteur \(2\) : la plus élevée est \(2^2\)
- Facteur \(3\) : puissance \(1\)
- Facteur \(5\) : puissance \(1\)

Ainsi, \(PPCM = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).

Conclusion : Le plus petit dénominateur commun est \(\boxed{60}\).

Récapitulatif des réponses

Pour \(\frac{1}{2}\) et \(\frac{3}{5}\): \(10\)
Pour \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{40}\): \(40\)
Pour \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{10}\): \(30\)
Pour \(\frac{2}{7}\) et \(\frac{7}{10}\): \(70\)
Pour \(\frac{1}{10}\) et \(\frac{7}{12}\): \(60\)
Pour \(\frac{7}{20}\) et \(\frac{7}{30}\): \(60\)

Voilà, c’est la correction complète et détaillée pour cet exercice.