Exercice 15
Exercice
Pour chacune des paires de fractions suivantes, déterminez le
dénominateur commun minimal :
- \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{20}\)
- \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{4}\)
- \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{5}{12}\)
- \(\frac{5}{8}\) et \(\frac{7}{30}\)
- \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{14}\)
Réponse
Réponses courtes :
- 20
- 12
- 24
- 120
- 40
- 42
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice :
1) Pour les fractions
\(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{20}\)
- Dénominateurs : 5 et 20.
- Méthode : On recherche le plus petit multiple
commun.
- Les multiples de 5 sont : \(5, 10, 15, 20,
25, \dots\)
- Les multiples de 20 sont : \(20, 40, 60,
\dots\)
- Conclusion : Le premier multiple commun est
20.
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }20.
\]
2) Pour les fractions \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{4}\)
- Dénominateurs : 3 et 4.
- Méthode : On cherche le plus petit nombre divisible
par 3 et par 4.
- Les multiples de 3 : \(3, 6, 9, 12, 15,
\dots\)
- Les multiples de 4 : \(4, 8, 12, 16,
\dots\)
- Conclusion : Le premier multiple commun est
12.
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }12.
\]
3) Pour les fractions
\(\frac{3}{8}\) et \(\frac{5}{12}\)
- Dénominateurs : 8 et 12.
- Méthode : Utilisation de la décomposition en
facteurs premiers.
- \(8 = 2^3\)
- \(12 = 2^2 \times 3\)
- Calcul du PPCM :
On prend le plus grand exposant pour chaque nombre premier :
- Pour 2 : \(2^3\)
- Pour 3 : \(3^1\)
Ainsi, PPCM \(= 2^3 \times 3 = 8 \times 3 =
24\).
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }24.
\]
4) Pour les fractions
\(\frac{5}{8}\) et \(\frac{7}{30}\)
- Dénominateurs : 8 et 30.
- Méthode :
Décomposition en facteurs premiers :
- \(8 = 2^3\)
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
- Calcul du PPCM :
On prend :
- Pour 2 : \(2^3\) (car \(3 > 1\))
- Pour 3 : \(3^1\)
- Pour 5 : \(5^1\)
Ainsi, PPCM \(= 2^3 \times 3 \times 5 = 8
\times 3 \times 5 = 120\).
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }120.
\]
5) Pour les fractions \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{1}{8}\)
- Dénominateurs : 5 et 8.
- Méthode :
Les nombres 5 et 8 ne partagent aucun facteur premier commun (ils sont
premiers entre eux).
- Conclusion :
Le dénominateur commun minimal est \(5 \times
8 = 40\).
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }40.
\]
6) Pour les fractions
\(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{14}\)
- Dénominateurs : 6 et 14.
- Méthode :
Décomposition en facteurs premiers :
- \(6 = 2 \times 3\)
- \(14 = 2 \times 7\)
- Calcul du PPCM :
On prend :
- Pour 2 : \(2^1\)
- Pour 3 : \(3^1\)
- Pour 7 : \(7^1\)
Ainsi, PPCM \(= 2 \times 3 \times 7 =
42\).
\[
\textbf{Dénominateur commun minimal : }42.
\]
Récapitulatif des réponses :
- \(\frac{1}{5}\) et \(\frac{3}{20} \quad \longrightarrow \quad
20\)
- \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{4} \quad \longrightarrow \quad
12\)
- \(\frac{3}{8}\) et \(\frac{5}{12} \quad \longrightarrow \quad
24\)
- \(\frac{5}{8}\) et \(\frac{7}{30} \quad \longrightarrow \quad
120\)
- \(\frac{2}{5}\) et \(\frac{1}{8} \quad \longrightarrow \quad
40\)
- \(\frac{1}{6}\) et \(\frac{3}{14} \quad \longrightarrow \quad
42\)
Chaque étape a permis de trouver le dénominateur commun minimal
nécessaire pour rendre les fractions comparables ou pour effectuer des
opérations entre elles.