Exercice 14
\[
\textbf{Exercice :}
\]
Calculer le plus petit commun multiple (PPCM) pour chacune des paires
de nombres ci-dessous :
- \(2\) et \(5\)
- \(6\) et \(10\)
- \(10\) et \(12\)
- \(4\) et \(40\)
- \(7\) et \(10\)
- \(20\) et \(30\)
Réponse
PPCM(2,5) = 10; PPCM(6,10) = 30; PPCM(10,12) = 60; PPCM(4,40) = 40;
PPCM(7,10) = 70; PPCM(20,30) = 60.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée pour chacun des calculs du PPCM :
1. Calcul du PPCM de \(2\) et \(5\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(2\) est un nombre premier : \(\quad 2 = 2\).
- \(5\) est un nombre premier : \(\quad 5 = 5\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance pour
former le PPCM :
- On utilise le facteur \(2\)
(puissance \(1\)).
- On utilise le facteur \(5\)
(puissance \(1\)).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(2,5) = 2 \times 5 = 10.
\]
2. Calcul du PPCM de \(6\) et \(10\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(6 = 2 \times 3\).
- \(10 = 2 \times 5\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance
:
- Facteur \(2\) (présent dans les
deux nombres, on prend \(2^1\)).
- Facteur \(3\) (présent dans \(6\)).
- Facteur \(5\) (présent dans \(10\)).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(6,10) = 2 \times 3 \times 5 = 30.
\]
3. Calcul du PPCM de \(10\) et \(12\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(10 = 2 \times 5\).
- \(12 = 2^2 \times 3\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance
:
- Facteur \(2\) (la plus grande
puissance est \(2^2\)).
- Facteur \(3\) (présent dans \(12\)).
- Facteur \(5\) (présent dans \(10\)).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(10,12) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60.
\]
4. Calcul du PPCM de \(4\) et \(40\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(4 = 2^2\).
- \(40 = 2^3 \times 5\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance
:
- Facteur \(2\) (la plus grande
puissance est \(2^3\)).
- Facteur \(5\) (présent dans \(40\)).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(4,40) = 2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40.
\]
5. Calcul du PPCM de \(7\) et \(10\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(7\) est un nombre premier.
- \(10 = 2 \times 5\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance
:
- Facteur \(7\).
- Facteur \(2\).
- Facteur \(5\).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(7,10) = 7 \times 2 \times 5 = 70.
\]
6. Calcul du PPCM de \(20\) et \(30\)
- Décomposition en facteurs premiers :
- \(20 = 2^2 \times 5\).
- \(30 = 2 \times 3 \times 5\).
- Sélection des facteurs avec leur plus grande puissance
:
- Facteur \(2\) (la plus grande
puissance est \(2^2\)).
- Facteur \(3\) (présent dans \(30\)).
- Facteur \(5\) (présent dans les
deux nombres).
- Calcul du PPCM :
\[
\text{PPCM}(20,30) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60.
\]
Récapitulatif des résultats
- \(\text{PPCM}(2,5) = 10\)
- \(\text{PPCM}(6,10) = 30\)
- \(\text{PPCM}(10,12) = 60\)
- \(\text{PPCM}(4,40) = 40\)
- \(\text{PPCM}(7,10) = 70\)
- \(\text{PPCM}(20,30) = 60\)
Cette méthode vous permet de déterminer le plus petit nombre qui est
un multiple de deux nombres donnés en décomposant chaque nombre en
facteurs premiers et en prenant ensuite les puissances maximales de ces
facteurs.